東北大学 1985年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

(1) $l_1$ 上の点を $Q=(2u,u,u+1)$ とおく。また $l_2$ 上の点を $R=(-v,v,v-1)$ とおく。求める直線 $g$ は $P(t,0,0)$，$Q$，$R$ を通るので，$Q-P$ と $R-P$ が平行である。

そこで $R-P=\lambda (Q-P)$ とおく。成分で書くと $$(-v-t,v,v-1)=\lambda (2u-t,u,u+1)$$ である。第2成分と第3成分から $$v=\lambda u,v-1=\lambda (u+1)$$ を得る。両式を引くと $-1=\lambda$ である。したがって $v=-u$ である。これを第1成分に代入すると $u-t=-(2u-t)$ となり $3u=2t$ すなわち $$u={\displaystyle \frac{2t}{3}},v=-{\displaystyle \frac{2t}{3}}$$ を得る。

よって $$Q=({\displaystyle \frac{4t}{3}},{\displaystyle \frac{2t}{3}},{\displaystyle \frac{2t}{3}}+1)$$ であり，$$Q-P=({\displaystyle \frac{t}{3}},{\displaystyle \frac{2t}{3}},{\displaystyle \frac{2t}{3}}+1)$$ である。方向ベクトルを3倍して，求める直線は $$g:(x,y,z)=(t,0,0)+s(t,2t,2t+3)$$ と表せる。ただし $s$ は実数である。

(2)
(1) で求めた通り $$Q=({\displaystyle \frac{4t}{3}},{\displaystyle \frac{2t}{3}},{\displaystyle \frac{2t}{3}}+1)$$ である。また $$R=({\displaystyle \frac{2t}{3}},-{\displaystyle \frac{2t}{3}},-{\displaystyle \frac{2t}{3}}-1)$$ である。したがって$$\overrightarrow{QR}=R-Q=(-{\displaystyle \frac{2t}{3}},-{\displaystyle \frac{4t}{3}},-{\displaystyle \frac{4t}{3}}-2)$$であり，$$\begin{array}{rl}{\displaystyle Q{R}^2}& {\displaystyle ={\left({\displaystyle \frac{2t}{3}}\right)}^2+{\left({\displaystyle \frac{4t}{3}}\right)}^2+{({\displaystyle \frac{4t}{3}}+2)}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{4t^2}{9}}+{\displaystyle \frac{16t^2}{9}}+({\displaystyle \frac{16t^2}{9}}+{\displaystyle \frac{16t}{3}}+4)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =4t^2+{\displaystyle \frac{16t}{3}}+4}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =4{(t+{\displaystyle \frac{2}{3}})}^2+{\displaystyle \frac{20}{9}}}\end{array}$$である。よって最小は $$t=-{\displaystyle \frac{2}{3}}$$ のときで，$$Q{R}_{\min }^{}={\displaystyle \frac{20}{9}}$$ である。したがって $$Q{R}_{\min }={\displaystyle \frac{2\sqrt{5}}{3}}$$ である。

$Q,R$ を媒介表示し、線分 $QR$ が $x$ 軸と交わる点を内分表示する。$y=z=0$ の2条件の差から内分比が1対1と分かるため、$P$ は常に $QR$ の中点である。この構造から交点と最短距離を求める。

$Q\in l_1,R\in l_2$ を$$Q=(2u,u,u+1),R=(-v,v,v-1)$$とおく。線分 $QR$ 上の点を $(1-\lambda )Q+\lambda R$ と表す。この点が $x$ 軸上にあるためには、$y,z$ 成分がともに0でなければならない。両成分の差を取ると$$(1-\lambda )(z_Q-y_Q)+\lambda (z_R-y_R)=(1-\lambda )-\lambda =0$$だから $\lambda =1\mathrm{/}2$ である。したがって $P$ は $QR$ の中点である。

(1) さらに $y_P=0$ より $(u+v)\mathrm{/}2=0$、したがって $v=-u$ である。$x_P=t$ より$$t={\displaystyle \frac{2u-v}{2}}={\displaystyle \frac{3u}{2}}$$なので $u=2t\mathrm{/}3$ を得る。よって$$Q=({\displaystyle \frac{4t}{3}},{\displaystyle \frac{2t}{3}},{\displaystyle \frac{2t}{3}}+1)$$であり、直線 $g$ は$$(x,y,z)=(t,0,0)+s(t,2t,2t+3)(s\in \mathbb{R})$$である。

(2) $P$ は中点だから $QR=2PQ$ である。また$$P{Q}^2={\left({\displaystyle \frac{t}{3}}\right)}^2+{\left({\displaystyle \frac{2t}{3}}\right)}^2+{({\displaystyle \frac{2t}{3}}+1)}^2={(t+{\displaystyle \frac{2}{3}})}^2+{\displaystyle \frac{5}{9}}\mathrm{.}$$したがって $t=-2\mathrm{/}3$ のとき$$Q{R}_{\min }=2\sqrt{{\displaystyle \frac{5}{9}}}={\displaystyle \frac{2\sqrt{5}}{3}}$$である。