東北大学 1985年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

残りの部分の面積を最小にするには，取り除く長方形の面積を最大にすればよい。

まず図形 $D$ を確認する。放物線は $$y=-{\displaystyle \frac{1}{2}}x(x-4)=2x-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}$$ であり，$x$ 軸とは $x=0,4$ で交わる。また直線 $y=x$ とは $$x=2x-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}$$ より $x=0,2$ で交わる。したがって $D$ の上側の境界は，$0\leqq x\leqq 2$ では直線 $y=x$，$2\leqq x\leqq 4$ では放物線である。

座標軸に平行な辺をもつ長方形が $D$ 内にあるとする。長方形を真下に動かしても $D$ から出ないので，最大の長方形は下辺を $x$ 軸上にもつとしてよい。上辺の高さを $h$ とすれば $0\leqq h\leqq 2$ である。

高さ $h$ の水平線で $D$ を切る。左端は直線 $y=x$ から $x=h$ である。右端は放物線 $$h=2x-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}$$ から $x^2-4x+2h=0$ すなわち $$x=2\pm \sqrt{4-2h}$$ であり，右側の境界なので $$x=2+\sqrt{4-2h}$$ である。したがって高さ $h$ の長方形の最大面積を $R(h)$ とすると $$R(h)=h\{2+\sqrt{4-2h}-h\}(0\leqq h\leqq 2)$$ である。

ここで $$u=\sqrt{4-2h}$$ とおく。すると $0\leqq u\leqq 2$，$$h={\displaystyle \frac{4-u^2}{2}}$$ である。また $$2+u-h=2+u-{\displaystyle \frac{4-u^2}{2}}=u+{\displaystyle \frac{u^2}{2}}$$ なので$$R={\displaystyle \frac{4-u^2}{2}}(u+{\displaystyle \frac{u^2}{2}})={\displaystyle \frac{8u+4u^2-2u^3-u^4}{4}}$$である。微分すると$${\displaystyle \frac{dR}{du}}={\displaystyle \frac{8+8u-6u^2-4u^3}{4}}=-{\displaystyle \frac{(u+2)(4u-1+\sqrt{17})(4u-1-\sqrt{17})}{16}}$$である。$0\leqq u\leqq 2$ で符号が変わる点は $$u_0={\displaystyle \frac{1+\sqrt{17}}{4}}$$ だけであり，$R$ はそこで最大となる。実際，$u<u_0$ で $dR\mathrm{/}du>0$，$u>u_0$ で $dR\mathrm{/}du<0$ である。

このとき$$u_0^2={\displaystyle \frac{9+\sqrt{17}}{8}},u_0^3={\displaystyle \frac{13+5\sqrt{17}}{16}},u_0^4={\displaystyle \frac{49+9\sqrt{17}}{32}}$$であるから，$$R_{\max }={\displaystyle \frac{107+51\sqrt{17}}{128}}$$ である。

次に $D$ の面積を求める。上側境界に従って$$\begin{array}{rl}{\displaystyle [\text{面積 }D]}& {\displaystyle ={\int }_0^{2}xdx+{\int }_2^4(2x-{\displaystyle \frac{x^2}{2}})dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2+{[x^2-{\displaystyle \frac{x^3}{6}}]}_2^4}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2+{\displaystyle \frac{8}{3}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{14}{3}}}\end{array}$$である。したがって残りの部分の面積の最小値は$${\displaystyle \frac{14}{3}}-{\displaystyle \frac{107+51\sqrt{17}}{128}}={\displaystyle \frac{1471-153\sqrt{17}}{384}}$$である。

長方形の右上頂点を放物線上の $(r,2r-r^2\mathrm{/}2)$ と置く。左上頂点は直線 $y=x$ 上に来るので、幅と高さがともに $r$ の式になり、根号なしの4次式を直接最大化できる。

残りの面積を最小にするには、取り除く長方形の面積を最大にすればよい。最大の長方形は、下辺を $x$ 軸、左上頂点を直線 $y=x$、右上頂点を放物線上に置ける。

右上頂点の $x$ 座標を $r(2\leqq r\leqq 4)$ とすると、高さは$$h=2r-{\displaystyle \frac{r^2}{2}}={\displaystyle \frac{r(4-r)}{2}}$$である。左端は $x=h$、右端は $x=r$ だから、長方形の面積は$$R(r)=h(r-h)={\displaystyle \frac{r^2(4-r)(r-2)}{4}}\mathrm{.}$$$u=r-2(0\leqq u\leqq 2)$ とおけば$$R(u)={\displaystyle \frac{(4-u^2)(2u+u^2)}{4}}$$であり、$$R^{\mathrm{\prime }}(u)=-{\displaystyle \frac{(u+2)(4u-1+\sqrt{17})(4u-1-\sqrt{17})}{16}}\mathrm{.}$$したがって最大は$$u={\displaystyle \frac{1+\sqrt{17}}{4}}$$で生じ、代入して$$R_{\max }={\displaystyle \frac{107+51\sqrt{17}}{128}}$$を得る。

一方、図形 $D$ の面積は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \mathrm{\mid }D\mathrm{\mid }}& {\displaystyle ={\int }_0^{2}xdx+{\int }_2^4(2x-{\displaystyle \frac{x^2}{2}})dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{14}{3}}\mathrm{.}}\end{array}$$よって残りの面積の最小値は$${\displaystyle \frac{14}{3}}-R_{\max }={\displaystyle \frac{1471-153\sqrt{17}}{384}}$$である。