東北大学 1984年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

$$E_n(u)=\sum _{r=0}^n{\displaystyle \frac{u^r}{r!}}$$ とおく。示すべき不等式は $$(1+a_1)(1+a_2)\cdots (1+a_n)\leqq E_n(s_n)$$ である。 $n=1$ のときは $s_1=a_1$ であり、$1+a_1=1+s_1=E_1(s_1)$ だから成り立つ。 $n$ で成り立つと仮定する。$a=a_{n+1}$, $s=s_n$ とおくと、$s_{n+1}=s+a$ である。帰納法の仮定より$$(1+a_1)(1+a_2)\cdots (1+a_{n+1})=\{(1+a_1)(1+a_2)\cdots (1+a_n)\}(1+a)\leqq (1+a)E_n(s)$$である。したがって $$(1+a)E_n(s)\leqq E_{n+1}(s+a)$$ を示せばよい。 $s,a\geqq 0$ であるから、$1\leqq r\leqq n$ について $$(s+a{)}^r-s^r\geqq ra{s}^{r-1}$$ である。また二項展開の $a{s}^n$ の項を見れば $$(s+a{)}^{n+1}\geqq (n+1)a{s}^n$$ である。よって $${\displaystyle \frac{(s+a{)}^{n+1}}{(n+1)!}}\geqq {\displaystyle \frac{a{s}^n}{n!}}$$ である。

以上を用いると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle E_{n+1}(s+a)-E_n(s)}& {\displaystyle =\sum _{r=1}^n{\displaystyle \frac{(s+a{)}^r-s^r}{r!}}+{\displaystyle \frac{(s+a{)}^{n+1}}{(n+1)!}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle \geqq \sum _{r=1}^n{\displaystyle \frac{ra{s}^{r-1}}{r!}}+{\displaystyle \frac{a{s}^n}{n!}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =a\sum _{r=0}^n{\displaystyle \frac{s^r}{r!}}=a{E}_n(s)}\end{array}$$である。したがって $$E_{n+1}(s+a)\geqq (1+a)E_n(s)$$ が成り立つ。
これにより $$(1+a_1)(1+a_2)\cdots (1+a_{n+1})\leqq E_{n+1}(s_{n+1})$$ が示された。数学的帰納法により、すべての正の整数 $n$ について不等式が成り立つ。

帰納法の1段を、補助多項式 $F(a)$ の単調性で閉じる

帰納法の仮定から必要になる $(1+a)E_n(s)\leqq E_{n+1}(s+a)$ を、$a$ の関数として調べる。差を $F(a)$ とおくと、導関数は有限指数和の単調性だけで非負になる。$F(0)\geqq 0$ と合わせて帰納法を閉じる。

次の有限和を用いる。$$E_n(u)=\sum _{r=0}^n{\displaystyle \frac{u^r}{r!}}\mathrm{.}$$$n=1$ では$$1+a_1=E_1(a_1)=E_1(s_1)$$だから主張は成り立つ。

$n$ のときに$$(1+a_1)(1+a_2)\cdots (1+a_n)\leqq E_n(s_n)$$が成り立つと仮定する。$s=s_n$、$a=a_{n+1}$ とおけば$$(1+a_1)(1+a_2)\cdots (1+a_{n+1})\leqq (1+a)E_n(s)$$である。

そこで $a\geqq 0$ に対して$$F(a)=E_{n+1}(s+a)-(1+a)E_n(s)$$とおく。有限和を微分すると $E_{n+1}^{\mathrm{\prime }}(u)=E_n(u)$ だから$$F^{\mathrm{\prime }}(a)=E_n(s+a)-E_n(s)\mathrm{.}$$$E_n(u)$ は $u\geqq 0$ で増加するので $F^{\mathrm{\prime }}(a)\geqq 0$ である。また$$F(0)=E_{n+1}(s)-E_n(s)={\displaystyle \frac{s^{n+1}}{(n+1)!}}\geqq 0.$$したがって $a\geqq 0$ で $F(a)\geqq 0$、すなわち$$(1+a)E_n(s)\leqq E_{n+1}(s+a)$$が成り立つ。よって$$(1+a_1)(1+a_2)\cdots (1+a_{n+1})\leqq E_{n+1}(s_{n+1})$$である。数学的帰納法により、全ての正の整数 $n$ について所望の不等式が示された。