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東北大学 1986年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

空間における基本ベクトルe1→=(1, 0, 0),e2→=(0, 1, 0),e3→=(0, 0, 1)を使って，3つのベクトルa→，b→，c→をa→=e1→+e2→,b→=e1→−e2→,c→=−e1→+e3→と定める．

(1) a→とb→，
b→とc→，
c→とa→
のなす角をそれぞれ求めよ．

(2) 2つのベクトルb→，c→に直交し，
ベクトルa→との内積が1であるようなベクトルをp→とする．
p→を
基本ベクトルe1→，e2→，e3→で表せ．

難易度4/ 10計算量3/ 10目安12分

ベクトル　内積の利用、ベクトル成分計算

方針

(1) は3つのベクトルを座標で書き、内積と長さから cos⁡θ を求める。a⃗ と b⃗ は内積が0なので直角、残り2組は内積が −1、長さがどちらも 2 なので角が 120∘ になる。(2) は p⃗=(x,y,z) とおき、b⃗、c⃗ との直交条件と、a⃗ との内積条件の3本の一次方程式を解く。

解答

(1)
与えられたベクトルは a⃗=(1,1,0),b⃗=(1,−1,0),c⃗=(−1,0,1) である。まず ∣a⃗∣=∣b⃗∣=∣c⃗∣=2 である。 a⃗ と b⃗ については a⃗⋅b⃗=1⋅1+1⋅(−1)+0⋅0=0 である。したがって cos⁡∠(a⃗,b⃗)=0 なので、なす角は π2 である。

次に b⃗⋅c⃗=1⋅(−1)+(−1)⋅0+0⋅1=−1 であるから cos⁡∠(b⃗,c⃗)=−122=−12 である。よって、なす角は 2π3 である。

また c⃗⋅a⃗=(−1)⋅1+0⋅1+1⋅0=−1 であるから、同じく cos⁡∠(c⃗,a⃗)=−12 である。したがって、なす角は 2π3 である。

(2) p⃗=(x,y,z) とおく。p⃗ は b⃗、c⃗ に直交するので p⃗⋅b⃗=x−y=0 であり、p⃗⋅c⃗=−x+z=0 である。また a⃗ との内積が1であるから p⃗⋅a⃗=x+y=1 である。

これらを解くと、x=y、z=x、x+y=1 より x=y=z=12 である。したがってp⃗=12e⃗1+12e⃗2+12e⃗3である。

別解

解法2（直交方向を先に決める）

方針

(1) は長さと内積から3つの角を求める。(2)は b⃗,c⃗ の両方に直交するベクトルの成分比を先に決め、a⃗ との内積で倍率を確定する。

解答

(1) a⃗=(1,1,0),b⃗=(1,−1,0),c⃗=(−1,0,1)で、3本とも長さは 2 である。内積はa⃗⋅b⃗=0,b⃗⋅c⃗=−1,c⃗⋅a⃗=−1.したがって、なす角は順にπ2,2π3,2π3.(2)
p⃗=(x,y,z) が b⃗,c⃗ に直交する条件はx−y=0,−x+z=0.よって p⃗ は (1,1,1) と平行であり、p⃗=t(1,1,1) と書ける。さらにp⃗⋅a⃗=2t=1だから t=1/2 である。したがってp⃗=12e⃗1+12e⃗2+12e⃗3.

総評

空間ベクトルの内積と直交条件を確認する基本問題で、目安は12分。(1)は3本の長さが全て√2である点をまとめると速い。(2)は3本の一次方程式を解く方法と、直交方向を先に決める方法で検算できる。cの第1成分の負号が主な失点箇所である。

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出典: 東北大学 1986年度 前期 数学。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。