東北大学 1983年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

平面 $OPQ$ は $x$ 軸を含む。点 $Q$ も通るので、法線ベクトルを$${\mathit{n}}_1=(0,t-1,-t-1)$$と取れる。

平面 $APQ$ 内の方向ベクトルは$$\overrightarrow{PA}=(2t,1,-1),\overrightarrow{PQ}=(3t,t+1,t-1)\mathrm{.}$$この2本と直交するベクトルとして$${\mathit{n}}_2=(2,-2t-1,2t-1)$$を取れる。

2平面が垂直である条件は$${\mathit{n}}_1\cdot {\mathit{n}}_2=0.$$したがって$$(t-1)(-2t-1)+(-t-1)(2t-1)=0,$$$$2-4t^2=0.$$$t\mathrm{\ne }0$ も満たすから$$\mathbf{t}=\pm {\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\sqrt{\mathbf{2}}}}$$である。

共通直線 $PQ$ のまわりで2平面が直交する

2平面の方程式を直接作り、各方程式の $x,y,z$ の係数を法線ベクトルとして読む。係数ベクトルの内積を0と置く。

平面 $OPQ$ は$$(t-1)y-(t+1)z=0$$である。

平面 $APQ$ は、点 $P=(-2t,0,0)$ を通り、法線を$$(2,-2t-1,2t-1)$$と取れるので$$2x-(2t+1)y+(2t-1)z+4t=0$$である。点 $A,P,Q$ を代入すれば、いずれもこの式を満たす。

2平面の法線の内積を取ると$$(0,t-1,-t-1)\cdot (2,-2t-1,2t-1)=2-4t^2\mathrm{.}$$したがって垂直条件は$$2-4t^2=0$$であり、$$\mathbf{t}=\pm {\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\sqrt{\mathbf{2}}}}$$となる。