東北大学 1984年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

(1) $$\overrightarrow{AB}=(1-(-2),0-2,{\displaystyle \frac{1}{2}}-(-{\displaystyle \frac{1}{2}}))=(3,-2,1)$$であり、$$\overrightarrow{OP}=(2p,p,3p)=p(2,1,3)$$ である。したがって$$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{OP}=3\cdot 2p+(-2)p+1\cdot 3p=7p$$である。また $$\mathrm{\mid }\overrightarrow{AB}\mathrm{\mid }=\sqrt{3^2+(-2{)}^2+1^2}=\sqrt{14},$$ $$\mathrm{\mid }\overrightarrow{OP}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }p\mathrm{\mid }\sqrt{2^2+1^2+3^2}=\mathrm{\mid }p\mathrm{\mid }\sqrt{14}$$ である。なす角を $\theta$ とすると $$\cos \theta ={\displaystyle \frac{7p}{\sqrt{14}\mathrm{\mid }p\mathrm{\mid }\sqrt{14}}}={\displaystyle \frac{p}{2\mathrm{\mid }p\mathrm{\mid }}}$$ である。
よって$$p>0\text{ のとき }\cos \theta ={\displaystyle \frac{1}{2}},p<0\text{ のとき }\cos \theta =-{\displaystyle \frac{1}{2}}$$であるから、$$p>0\text{ のとき }\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{3}},p<0\text{ のとき }\theta ={\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$$である。

(2) $$\overrightarrow{AP}=(2p+2,p-2,3p+{\displaystyle \frac{1}{2}})$$ である。直線 $AB$ の方向ベクトルは $$\vec{d}=\overrightarrow{AB}=(3,-2,1)$$ である。点 $P$ から直線 $AB$ への距離の2乗は、$\overrightarrow{AP}$ から $\vec{d}$ 方向の成分を除いた部分の長さの2乗だから$$\mathrm{\mid }\overrightarrow{AP}{\mathrm{\mid }}^2-{\displaystyle \frac{(\overrightarrow{AP}\cdot \vec{d}{)}^2}{\mathrm{\mid }\vec{d}{\mathrm{\mid }}^2}}$$である。

まず$$\mathrm{\mid }\overrightarrow{AP}{\mathrm{\mid }}^2={(2p+2)}^2+(p-2{)}^2+{(3p+{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2=14p^2+7p+{\displaystyle \frac{33}{4}}$$である。また$$\overrightarrow{AP}\cdot \vec{d}=3(2p+2)-2(p-2)+3p+{\displaystyle \frac{1}{2}}=7p+{\displaystyle \frac{21}{2}}$$であり、$\mathrm{\mid }\vec{d}{\mathrm{\mid }}^2=14$ である。したがって距離の2乗は$$14p^2+7p+{\displaystyle \frac{33}{4}}-{\displaystyle \frac{{(7p+{\displaystyle \frac{21}{2}})}^2}{14}}={\displaystyle \frac{84p^2-28p+3}{8}}$$となる。

この距離が $\sqrt{5}\mathrm{/}2$ であるから $${\displaystyle \frac{84p^2-28p+3}{8}}={\displaystyle \frac{5}{4}}$$ である。整理して $84p^2-28p-7=0$ すなわち $(6p+1)(2p-1)=0$ である。よって $$p=-{\displaystyle \frac{1}{6}},p={\displaystyle \frac{1}{2}}$$ である。

垂足を $H=A+\lambda \overrightarrow{AB}$ とおき、$PH\perp AB$ を使う

(1) 内積を計算し、$p$ の符号による向きの反転を場合分けする。(2) 垂足を $H=A+\lambda \overrightarrow{AB}$ とおき、$\overrightarrow{PH}\cdot \overrightarrow{AB}=0$ から $\lambda$ を決める。得た $P{H}^2$ を指定値 $5\mathrm{/}4$ と等置する。

(1) $$\overrightarrow{AB}=(3,-2,1),\overrightarrow{OP}=p(2,1,3)\mathrm{.}$$内積と長さはよって、なす角を $\theta$ とすれば$$\cos \theta ={\displaystyle \frac{p}{2\mathrm{\mid }p\mathrm{\mid }}}\mathrm{.}$$したがって$$\theta =\{\begin{array}{ll}\pi \mathrm{/}3& (p>0),\\ 2\pi \mathrm{/}3& (p<0)\end{array}$$である。

(2) 垂足を$$H=A+\lambda \overrightarrow{AB}$$とおく。$$\overrightarrow{AP}=(2p+2,p-2,3p+1\mathrm{/}2)$$ であり、だから、$\overrightarrow{PH}\perp \overrightarrow{AB}$ より$$\overrightarrow{PH}=\overrightarrow{AP}-\lambda \overrightarrow{AB}=({\displaystyle \frac{p}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{4}},2p-{\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{5p}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{4}})\mathrm{.}$$したがって$$P{H}^2={\displaystyle \frac{84p^2-28p+3}{8}}\mathrm{.}$$これが $5\mathrm{/}4$ に等しいので$$84p^2-28p-7=0,$$すなわち$$7(6p+1)(2p-1)=0.$$よって$$p=-{\displaystyle \frac{1}{6}},p={\displaystyle \frac{1}{2}}$$である。