東北大学 1988年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

弦 $AB$ に対応する中心角を$$\mathrm{\angle }AOB=\alpha$$とする。半径が5、$AB=4$ だから$$\sin {\displaystyle \frac{\alpha }{2}}={\displaystyle \frac{2}{5}},\cos {\displaystyle \frac{\alpha }{2}}={\displaystyle \frac{\sqrt{21}}{5}}\mathrm{.}$$よって$$\cos \alpha ={\displaystyle \frac{17}{25}},\sin \alpha ={\displaystyle \frac{4\sqrt{21}}{25}}\mathrm{.}$$また $DC=5$ だから$$\mathrm{\angle }DOC={\displaystyle \frac{\pi }{3}}\mathrm{.}$$(1)$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{AB}}& {\displaystyle =\overrightarrow{OA}\cdot (\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =25\cos \alpha -25}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-8.}\end{array}$$(2)
円内で交わる2弦が作る角より$$\theta ={\displaystyle \frac{1}{2}}(\alpha +{\displaystyle \frac{\pi }{3}})={\displaystyle \frac{\alpha }{2}}+{\displaystyle \frac{\pi }{6}}\mathrm{.}$$したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \cos \theta }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{\sqrt{21}}{5}}\cdot {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}-{\displaystyle \frac{2}{5}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{3\sqrt{7}-2}{10}}\mathrm{.}}\end{array}$$(3)
$A,B,C,D$ の順序と $$\overrightarrow{OD}=-\overrightarrow{OA}$$ から$$\mathrm{\angle }BOC={\displaystyle \frac{2\pi }{3}}-\alpha \mathrm{.}$$よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \overrightarrow{OB}\cdot \overrightarrow{OC}}& {\displaystyle =25\cos ({\displaystyle \frac{2\pi }{3}}-\alpha )}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-{\displaystyle \frac{17}{2}}+6\sqrt{7}\mathrm{.}}\end{array}$$また$$\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=17,\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OC}=-{\displaystyle \frac{25}{2}}\mathrm{.}$$したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{DC}}& {\displaystyle =(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA})\cdot (\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OA})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =6\sqrt{7}-4.}\end{array}$$

$A=(5,0),D=(-5,0)$ と置く。弦長から $B,C$ の座標を決め、内積と2直線のなす角を成分計算する。

$$O=(0,0),A=(5,0),D=(-5,0)$$と置く。$AB=4$ と半径5から$$B=({\displaystyle \frac{17}{5}},{\displaystyle \frac{4\sqrt{21}}{5}})\mathrm{.}$$$DC=5$ かつ $C$ は上半円側にあるので$$C=(-{\displaystyle \frac{5}{2}},{\displaystyle \frac{5\sqrt{3}}{2}})\mathrm{.}$$(1)$$\overrightarrow{OA}=(5,0),\overrightarrow{AB}=(-{\displaystyle \frac{8}{5}},{\displaystyle \frac{4\sqrt{21}}{5}})$$より$$\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{AB}=-8.$$(2)
$P$ から $A,B$ へ向かう方向として$$\overrightarrow{CA}=({\displaystyle \frac{15}{2}},-{\displaystyle \frac{5\sqrt{3}}{2}}),\overrightarrow{DB}=({\displaystyle \frac{42}{5}},{\displaystyle \frac{4\sqrt{21}}{5}})$$を用いてよい。その長さと内積は$$\mathrm{\mid }\overrightarrow{CA}\mathrm{\mid }=5\sqrt{3},\mathrm{\mid }\overrightarrow{DB}\mathrm{\mid }=2\sqrt{21},$$$$\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{DB}=63-6\sqrt{7}\mathrm{.}$$したがって$$\cos \theta ={\displaystyle \frac{63-6\sqrt{7}}{(5\sqrt{3})(2\sqrt{21})}}={\displaystyle \frac{3\sqrt{7}-2}{10}}\mathrm{.}$$(3)$$\overrightarrow{DC}=({\displaystyle \frac{5}{2}},{\displaystyle \frac{5\sqrt{3}}{2}})$$だから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{DC}}& {\displaystyle =-{\displaystyle \frac{8}{5}}\cdot {\displaystyle \frac{5}{2}}+{\displaystyle \frac{4\sqrt{21}}{5}}\cdot {\displaystyle \frac{5\sqrt{3}}{2}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =6\sqrt{7}-4.}\end{array}$$