東北大学 1988年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

(1) $$\overrightarrow{AG}=\vec{g}-\vec{a}$$だから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle A{G}^2}& {\displaystyle =(\vec{g}-\vec{a})\cdot (\vec{g}-\vec{a})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\vec{a}\cdot \vec{a}-2\vec{a}\cdot \vec{g}+\vec{g}\cdot \vec{g}\mathrm{.}}\end{array}$$(2)
同様にして$$\begin{array}{rl}{\displaystyle A{G}^2+B{G}^2+C{G}^2=}& {\displaystyle \vec{a}\cdot \vec{a}+\vec{b}\cdot \vec{b}+\vec{c}\cdot \vec{c}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle -2(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})\cdot \vec{g}+3\vec{g}\cdot \vec{g}\mathrm{.}}\end{array}$$ここで $$\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=3\vec{g}$$ だから$$A{G}^2+B{G}^2+C{G}^2=O{A}^2+O{B}^2+O{C}^2-3O{G}^2\mathrm{.}$$移項すれば、示す等式を得る。

(3) $$\overrightarrow{OE}={\displaystyle \frac{\vec{a}+\vec{b}}{3}}$$である。また$$\overrightarrow{OF}={\displaystyle \frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{4}}\mathrm{.}$$一方、$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \overrightarrow{OC}+{\displaystyle \frac{3}{4}}(\overrightarrow{OE}-\overrightarrow{OC})}& {\displaystyle =\vec{c}+{\displaystyle \frac{3}{4}}({\displaystyle \frac{\vec{a}+\vec{b}}{3}}-\vec{c})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{4}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\overrightarrow{OF}\mathrm{.}}\end{array}$$したがって $F$ は $C$ から $E$ へ $3\mathrm{/}4$ 進んだ点であり、線分 $CE$ 上にある。

$G$ を基準に $\vec{u}=\vec{a}-\vec{g},\vec{v}=\vec{b}-\vec{g},\vec{w}=\vec{c}-\vec{g}$ と置く。和が0になるため平方和の交差項が消える。(3) は重心 $E$ を用いた内分公式で示す。

(1) $$\overrightarrow{GA}=\vec{a}-\vec{g}$$なので$$A{G}^2=(\vec{a}-\vec{g})\cdot (\vec{a}-\vec{g})=\vec{a}\cdot \vec{a}-2\vec{a}\cdot \vec{g}+\vec{g}\cdot \vec{g}\mathrm{.}$$(2)$$\vec{u}=\vec{a}-\vec{g},\vec{v}=\vec{b}-\vec{g},\vec{w}=\vec{c}-\vec{g}$$とおく。重心の関係から$$\vec{u}+\vec{v}+\vec{w}=\vec{0}\mathrm{.}$$よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle O{A}^2+O{B}^2+O{C}^2}& {\displaystyle =\mathrm{\mid }\vec{g}+\vec{u}{\mathrm{\mid }}^2+\mathrm{\mid }\vec{g}+\vec{v}{\mathrm{\mid }}^2+\mathrm{\mid }\vec{g}+\vec{w}{\mathrm{\mid }}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =3\mathrm{\mid }\vec{g}{\mathrm{\mid }}^2+\mathrm{\mid }\vec{u}{\mathrm{\mid }}^2+\mathrm{\mid }\vec{v}{\mathrm{\mid }}^2+\mathrm{\mid }\vec{w}{\mathrm{\mid }}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =3O{G}^2+A{G}^2+B{G}^2+C{G}^2\mathrm{.}}\end{array}$$第2行では交差項$$2\vec{g}\cdot (\vec{u}+\vec{v}+\vec{w})$$が0になることを用いた。

(3) $$\vec{e}=\overrightarrow{OE}$$ とおけば$$3\vec{e}=\vec{a}+\vec{b}\mathrm{.}$$したがって$$\overrightarrow{OF}={\displaystyle \frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{4}}={\displaystyle \frac{3\vec{e}+\vec{c}}{4}}\mathrm{.}$$これは $C$ と $E$ を$$CF:FE=3:1$$に内分する点の位置ベクトルである。ゆえに $F$ は線分 $CE$ 上にある。