東北大学 1985年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第6問

平面 $x+2y+2z=9$ の法線ベクトルは $\vec{n}=(1,2,2)$ であり，$$\mathrm{\mid }\vec{n}{\mathrm{\mid }}^2=1^2+2^2+2^2=9$$ である。原点からこの平面へ下ろした垂線の足を $H$ とする。$H$ は $\vec{n}$ の方向にあるので $H=s(1,2,2)$ とおける。これを平面の式に代入すると $s+4s+4s=9$ より $s=1$ である。したがって $H=(1,2,2)$ であり $$OH=\sqrt{1^2+2^2+2^2}=3$$ である。

円の中心は $A=(5,-1,3)$ である。実際，$5+2(-1)+2\cdot 3=9$ なので $A$ は平面上にある。平面内での $A$ と $H$ の距離は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle A{H}^2}& {\displaystyle =(5-1{)}^2+(-1-2{)}^2+(3-2{)}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =4^2+(-3{)}^2+1^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =26}\end{array}$$であるから $$AH=\sqrt{26}$$ である。

任意の円周上の点 $P$ はこの平面上にある。$OH$ は平面に垂直であり，$HP$ は平面内にあるので $O{P}^2=O{H}^2+H{P}^2$ である。よって $O{P}^2$ を最小にするには，平面内で $HP$ を最小にすればよい。

平面内の円は中心 $A$，半径2である。$$AH=\sqrt{26}>2$$ なので，$H$ に最も近い円周上の点は，線分 $AH$ 上で $A$ から $H$ の方向へ半径2だけ進んだ点である。したがって $$H{P}_{\min }=AH-2=\sqrt{26}-2$$ である。

よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle O{P}_{\min }^{}}& {\displaystyle =O{H}^2+(H{P}_{\min }{)}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =3^2+(\sqrt{26}-2{)}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =9+26-4\sqrt{26}+4}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =39-4\sqrt{26}}\end{array}$$である。

円周上の点を $P=A+\vec{u}$ と表し、$\vec{u}$ が平面に平行で長さ2であることを使う。$A$ の平面方向成分は $\overrightarrow{HA}$ なので、内積の最小値をコーシー・シュワルツの不等式で直接求める。

原点から平面へ下ろした垂線の足を $H$ とする。法線方向が $(1,2,2)$ であるから$$H=(1,2,2)\mathrm{.}$$したがって$$\overrightarrow{HA}=(4,-3,1),\mathrm{\mid }\overrightarrow{HA}\mathrm{\mid }=\sqrt{26}\mathrm{.}$$円周上の点は$$P=A+\vec{u}$$と表せる。ただし $\vec{u}$ は平面に平行で $\mathrm{\mid }\vec{u}\mathrm{\mid }=2$ である。$$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OH}+\overrightarrow{HA}$$ で、$\overrightarrow{OH}\perp \vec{u}$ だから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle O{P}^2}& {\displaystyle =\mathrm{\mid }\overrightarrow{OA}+\vec{u}{\mathrm{\mid }}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =O{A}^2+\mathrm{\mid }\vec{u}{\mathrm{\mid }}^2+2\overrightarrow{HA}\cdot \vec{u}\mathrm{.}}\end{array}$$ここで $O{A}^2=5^2+(-1{)}^2+3^2=35$ である。またコーシー・シュワルツの不等式より$$\overrightarrow{HA}\cdot \vec{u}\geqq -\mathrm{\mid }\overrightarrow{HA}\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }\vec{u}\mathrm{\mid }=-2\sqrt{26}\mathrm{.}$$等号は $\vec{u}$ が $\overrightarrow{HA}$ と反対向きのときに成り立ち、この $\vec{u}$ は平面に平行だから実現できる。よって$$O{P}_{\min }^{}=35+4-4\sqrt{26}=39-4\sqrt{26}\mathrm{.}$$