東北大学 1985年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

(1)
曲線 $C$ は $$x=t+\sin t,y=\cos t-1$$ で表される。微分すると $${\displaystyle \frac{dx}{dt}}=1+\cos t,{\displaystyle \frac{dy}{dt}}=-\sin t$$ である。したがって弧長の微小量は $\sqrt{(1+\cos t{)}^2+{\sin }^{2}t}dt$ である。根号内を整理すると$$(1+\cos t{)}^2+{\sin }^{2}t=1+2\cos t+{\cos }^{2}t+{\sin }^{2}t=2+2\cos t=4{\cos }^2{\displaystyle \frac{t}{2}}$$である。$0<t<\pi$ では $\cos (t\mathrm{/}2)>0$ なので $$\sqrt{(1+\cos t{)}^2+{\sin }^{2}t}=2\cos {\displaystyle \frac{t}{2}}$$ である。

点 $O$ は $t=0$ に対応する。よって $O$ から $P$ までの弧の長さ $l$ は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle l}& {\displaystyle ={\int }_0^{t}2\cos {\displaystyle \frac{u}{2}}du}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =4\sin {\displaystyle \frac{t}{2}}}\end{array}$$である。したがって $$l=4\sin {\displaystyle \frac{t}{2}}$$ である。

(2)
接線方向を求める。上で見たように$$({\displaystyle \frac{dx}{dt}},{\displaystyle \frac{dy}{dt}})=(1+\cos t,-\sin t)$$である。半角公式を使うと$$1+\cos t=2{\cos }^2{\displaystyle \frac{t}{2}},\sin t=2\sin {\displaystyle \frac{t}{2}}\cos {\displaystyle \frac{t}{2}}$$なので，増加方向の単位ベクトルは $(\cos {\displaystyle \frac{t}{2}},-\sin {\displaystyle \frac{t}{2}})$ である。点 $Q$ は $P$ より左側にあるから，接線上で用いる単位ベクトルは反対向きの $(-\cos {\displaystyle \frac{t}{2}},\sin {\displaystyle \frac{t}{2}})$ である。

したがって $$Q=P+l(-\cos {\displaystyle \frac{t}{2}},\sin {\displaystyle \frac{t}{2}})$$ である。(1) の $l=4\sin (t\mathrm{/}2)$ を用いると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle Q_x}& {\displaystyle =t+\sin t-4\sin {\displaystyle \frac{t}{2}}\cos {\displaystyle \frac{t}{2}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =t+\sin t-2\sin t}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =t-\sin t}\end{array}$$であり，$$\begin{array}{rl}{\displaystyle Q_y}& {\displaystyle =\cos t-1+4{\sin }^2{\displaystyle \frac{t}{2}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\cos t-1+2(1-\cos t)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =1-\cos t}\end{array}$$である。よって $Q=(t-\sin t,1-\cos t)$ である。

(3) $C$ の $\pi <s<2\pi$ の部分を考える。ここで $s=t+\pi$ とおくと，$0<t<\pi$ に対して確かに $\pi <s<2\pi$ である。このとき $$\sin s=\sin (t+\pi )=-\sin t,\cos s=\cos (t+\pi )=-\cos t$$ なので，$C$ 上の対応する点は $$(s+\sin s,\cos s-1)=(t+\pi -\sin t,-\cos t-1)$$ である。この点をベクトル $(-\pi ,2)$ だけ平行移動すると $(t-\sin t,1-\cos t)$ となる。これは (2) で求めた $Q$ の座標である。

したがって，$Q$ の描く曲線は，$C$ の $\pi <t<2\pi$ の部分を平行移動したものである。平行移動では図形の形も長さも変わらないから，両者は合同である。

速度ベクトルを半角公式で『速さ×単位接線ベクトル』に分解する。弧長だけ単位接線の逆向きへ進んで $Q$ を求めた後、後半の媒介変数を $s=t+\pi$ と置き、一定ベクトルだけの平行移動で一致することを示す。

(1) 速度ベクトルは$$(1+\cos t,-\sin t)=2\cos {\displaystyle \frac{t}{2}}(\cos {\displaystyle \frac{t}{2}},-\sin {\displaystyle \frac{t}{2}})\mathrm{.}$$$0<t<\pi$ では $\cos (t\mathrm{/}2)>0$ だから速さは $2\cos (t\mathrm{/}2)$ である。よって$$l={\int }_0^{t}2\cos {\displaystyle \frac{u}{2}}du=4\sin {\displaystyle \frac{t}{2}}\mathrm{.}$$(2) 括弧内は右向きの単位接線ベクトルである。$Q$ は $P$ より左側だから、その逆向きへ距離 $l$ だけ進めばよい。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle Q}& {\displaystyle =(t+\sin t,\cos t-1)-4\sin {\displaystyle \frac{t}{2}}(\cos {\displaystyle \frac{t}{2}},-\sin {\displaystyle \frac{t}{2}})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(t-\sin t,1-\cos t)\mathrm{.}}\end{array}$$(3) $s=t+\pi$ とおくと $\pi <s<2\pi$ であり、$C$ 上の対応点は$$(s+\sin s,\cos s-1)=(t+\pi -\sin t,-1-\cos t)\mathrm{.}$$これを一定ベクトル $(-\pi ,2)$ だけ平行移動すると$$(t-\sin t,1-\cos t)=Q$$になる。したがって $Q$ の軌跡は $C$ の $\pi <s<2\pi$ の部分の平行移動であり、両曲線は合同である。