東北大学 1987年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

楕円 $C$ は $${\displaystyle \frac{x^2}{5}}+{\displaystyle \frac{y^2}{5\mathrm{/}4}}=1$$ である。長半径の2乗は $5$、短半径の2乗は ${\displaystyle \frac{5}{4}}$ なので、焦点は $(\pm {\displaystyle \frac{\sqrt{15}}{2}},0)$ である。したがって焦点を結ぶ線分は $$y=0,\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }\leqq {\displaystyle \frac{\sqrt{15}}{2}}$$ で表される。

点 $P(0,2)$ を通る直線を $y=mx+2$ とおく。垂直線 $x=0$ は楕円との交点の $x$ 座標の差が0なので条件を満たさない。楕円に代入すると $x^2+4(mx+2{)}^2=5$ であり、整理して $(1+4m^2)x^2+16mx+11=0$ を得る。この2根を $x_1,x_2$ とすると、根の差の2乗は $$(x_1-x_2{)}^2={\displaystyle \frac{D}{(1+4m^2{)}^2}}$$ である。ただし判別式は $$D=(16m{)}^2-4(1+4m^2)11=4(20m^2-11)$$ である。条件 $\mathrm{\mid }{x}_1-x_2\mathrm{\mid }=1$ より $4(20m^2-11)=(1+4m^2{)}^2$ となる。整理すると $(4m^2-15)(4m^2-3)=0$ である。したがって $$m^2={\displaystyle \frac{15}{4}}\text{または}{m}^2={\displaystyle \frac{3}{4}}$$ である。

次に、直線が焦点を結ぶ線分と交わる条件を調べる。$x$ 軸との交点は $0=mx+2$ より $x=-{\displaystyle \frac{2}{m}}$ である。これが焦点間の線分上にあるためには $$\mid {\displaystyle \frac{2}{m}}\mid \leqq {\displaystyle \frac{\sqrt{15}}{2}}$$ すなわち $$m^2\geqq {\displaystyle \frac{16}{15}}$$ が必要十分である。候補のうち $m^2={\displaystyle \frac{3}{4}}$ はこれを満たさず、$$m^2={\displaystyle \frac{15}{4}}$$ だけが残る。

よって求める直線は $$y={\displaystyle \frac{\sqrt{15}}{2}}x+2,y=-{\displaystyle \frac{\sqrt{15}}{2}}x+2$$ である。

楕円との交点の $x$ 座標の差が1なので、二つを $s-{\displaystyle \frac{1}{2}},s+{\displaystyle \frac{1}{2}}$ と置く。点 $P$ を通る直線上の $y$ 座標も傾き $m$ で表し、二点が楕円上にある条件を差と和に分ける。これで $m^2$ の候補を直接得た後、$x$ 軸との交点が焦点間にあるかを検査する。

点 $P(0,2)$ を通る非垂直な直線を$$y=mx+2$$とする。楕円との二交点の $x$ 座標を、条件に合わせて$$x_1=s-{\displaystyle \frac{1}{2}},x_2=s+{\displaystyle \frac{1}{2}}$$とおく。楕円へ直線を代入して得る方程式は$$(1+4m^2)x^2+16mx+11=0.$$根の和と積から$$2s=-{\displaystyle \frac{16m}{1+4m^2}},s^2-{\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{11}{1+4m^2}}\mathrm{.}$$第1式の $s$ を第2式へ代入すると$$(4m^2-15)(4m^2-3)=0.$$したがって$$m^2={\displaystyle \frac{15}{4}}\text{または}{m}^2={\displaystyle \frac{3}{4}}\mathrm{.}$$楕円を標準形にすると$${\displaystyle \frac{x^2}{5}}+{\displaystyle \frac{y^2}{5\mathrm{/}4}}=1$$なので、焦点は $(\pm \sqrt{15}\mathrm{/}2,0)$ である。直線と $x$ 軸との交点は $(-2\mathrm{/}m,0)$ だから、これが焦点間にある条件は$$\mid {\displaystyle \frac{2}{m}}\mid \leqq {\displaystyle \frac{\sqrt{15}}{2}},\text{すなわち}{m}^2\geqq {\displaystyle \frac{16}{15}}\mathrm{.}$$よって $m^2=3\mathrm{/}4$ は除かれ、求める直線は$$y={\displaystyle \frac{\sqrt{15}}{2}}x+2,y=-{\displaystyle \frac{\sqrt{15}}{2}}x+2$$である。