東北大学 1987年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

放物線 $y=x^2$ の $x=t$ における接線は $y=2tx-t^2$ である。この接線が点 $(a,b)$ を通る条件は $b=2ta-t^2$ すなわち $t^2-2at+b=0$ である。したがって、点 $(a,b)$ から引ける接線の接点の $x$ 座標を $t_1,t_2$ とすると、$t_1,t_2$ はこの2次方程式の2根である。異なる2本の接線が引ける条件は $t_1\mathrm{\ne }{t}_2$ である。

ここで、2本の接線と放物線で囲まれる面積を $t_1,t_2$ で表す。$t_1<t_2$ とする。2本の接線の交点の $x$ 座標は、$2t_{1}x-t_1^2=2t_{2}x-t_2^2$ より $$x={\displaystyle \frac{t_1+t_2}{2}}$$ である。したがって面積は$${\int }_{t_1}^{(t_1+t_2)\mathrm{/}2}\{(2t_{1}x-t_1^2)-x^2\}dx+{\int }_{(t_1+t_2)\mathrm{/}2}^{t_2}\{(2t_{2}x-t_2^2)-x^2\}dx$$の絶対値であり、計算すると ${\displaystyle \frac{(t_2-t_1{)}^3}{12}}$ である。よって面積を最大にするには $\mathrm{\mid }{t}_1-t_2\mathrm{\mid }$ を最大にすればよい。

2次方程式の根の差について $$(t_1-t_2{)}^2=(t_1+t_2{)}^2-4t_1{t}_2=(2a{)}^2-4b=4(a^2-b)$$ である。したがって $a^2-b$ を単位円 $a^2+b^2=1$ の上で最大にすればよい。$a^2=1-b^2$ より $$a^2-b=1-b^2-b={\displaystyle \frac{5}{4}}-{(b+{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2$$ である。これは $b=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ のとき最大値 ${\displaystyle \frac{5}{4}}$ をとる。このとき $$a^2=1-b^2=1-{\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{3}{4}}$$ なので $$a=\pm {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$$ である。さらに $a^2-b={\displaystyle \frac{5}{4}}>0$ だから、接線は確かに異なる2本である。

よって求める点は$$({\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}},-{\displaystyle \frac{1}{2}}),(-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}},-{\displaystyle \frac{1}{2}})$$である。

二つの接点を $t_1=a-d,t_2=a+d$ と置く。根と係数の関係から $d^2=a^2-b$ である。座標を $x=a+u$ と平行移動すると、左右の囲まれた部分は同じ形になり、放物線と各接線の差は接点からの距離の2乗になる。面積を $d$ だけで積分し、単位円条件で $d^2$ を最大化する。

接点の $x$ 座標を $t$ とすると接線は$$y=2tx-t^2\mathrm{.}$$これが $(a,b)$ を通る条件は $t^2-2at+b=0$ である。二根を$$t_1=a-d,t_2=a+d(d>0)$$と置くと、根の積から$$a^2-d^2=b,d^2=a^2-b\mathrm{.}$$二接線の交点の $x$ 座標は $a$ である。放物線と $t_1$ での接線との差は$$x^2-(2t_{1}x-t_1^2)=(x-t_1{)}^2,$$$t_2$ 側も同様である。よって囲まれた面積は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={\int }_{t_1}^a(x-t_1{)}^{2}dx+{\int }_a^{t_2}(x-t_2{)}^{2}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{d^3}{3}}+{\displaystyle \frac{d^3}{3}}={\displaystyle \frac{2d^3}{3}}\mathrm{.}}\end{array}$$したがって $d^2=a^2-b$ を最大にすればよい。単位円上では$$a^2-b=1-b^2-b={\displaystyle \frac{5}{4}}-{(b+{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2\mathrm{.}$$最大は $b=-1\mathrm{/}2$ のときであり、そのとき $a^2=3\mathrm{/}4$ である。さらに $d^2=5\mathrm{/}4>0$ なので接線は異なる。よって求める点は$$({\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}},-{\displaystyle \frac{1}{2}}),(-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}},-{\displaystyle \frac{1}{2}})$$である。