東北大学 1989年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

(1) 上側の直線と下側の放物線の差は$$(x+2)-({\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^2+x+1)=1-{\displaystyle \frac{x^2}{4}}\mathrm{.}$$両者の交点は $x=\pm 2$ だから、図形 $A$ の面積は$$\begin{array}{cccc}& {\int }_{-2}^2(1-{\displaystyle \frac{x^2}{4}})dx={\displaystyle \frac{8}{3}}\mathrm{.}& & \text{(1)}\end{array}$$$d=1-a$ とおくと、$a<0$ より $d>1$ である。直線 $y=ax+1$ と上側の直線 $y=x+2$ の交点の $x$ 座標は$$c={\displaystyle \frac{1}{a-1}}=-{\displaystyle \frac{1}{d}},$$また下側の放物線との $A$ 内の交点は $x=0$ である。

直線より上側にある領域の面積は、$c\leqq x\leqq 0$ にできる三角形状の部分と、$0\leqq x\leqq 2$ の右半分の和である。前者は$${\int }_c^0\{(x+2)-(ax+1)\}dx={\int }_{-1\mathrm{/}d}^0(dx+1)dx={\displaystyle \frac{1}{2d}},$$後者は$${\int }_0^2(1-{\displaystyle \frac{x^2}{4}})dx={\displaystyle \frac{4}{3}}\mathrm{.}$$したがって2領域の面積は$${\displaystyle \frac{4}{3}}-{\displaystyle \frac{1}{2d}},{\displaystyle \frac{4}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{2d}}\mathrm{.}$$小さい方が全体の3分の1、すなわち $8\mathrm{/}9$ だから$${\displaystyle \frac{4}{3}}-{\displaystyle \frac{1}{2d}}={\displaystyle \frac{8}{9}}\mathrm{.}$$これより $d=9\mathrm{/}8$、したがって$$a=1-d=-{\displaystyle \frac{1}{8}}\mathrm{.}$$(2) $a=-1\mathrm{/}8$ のとき、直線と放物線の交点は$$-{\displaystyle \frac{1}{8}}x+1={\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^2+x+1$$より $x=0,-9\mathrm{/}2$ である。この区間では直線が放物線より上にあり、両曲線とも $x$ 軸より上にある。円板の差で体積を表すと$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\displaystyle \frac{V}{\pi }}}& {\displaystyle ={\int }_{-9\mathrm{/}2}^0\{{(1-{\displaystyle \frac{x}{8}})}^2-{({\displaystyle \frac{x^2}{4}}+x+1)}^2\}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\int }_{-9\mathrm{/}2}^0(-{\displaystyle \frac{x^4}{16}}-{\displaystyle \frac{x^3}{2}}-{\displaystyle \frac{95x^2}{64}}-{\displaystyle \frac{9x}{4}})dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={[-{\displaystyle \frac{x^5}{80}}-{\displaystyle \frac{x^4}{8}}-{\displaystyle \frac{95x^3}{192}}-{\displaystyle \frac{9x^2}{8}}]}_{-9\mathrm{/}2}^0}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{7533}{1280}}\mathrm{.}}\end{array}$$$$5<{\displaystyle \frac{7533}{1280}}<6,{\displaystyle \frac{7533}{1280}}-5={\displaystyle \frac{1133}{1280}}>{\displaystyle \frac{1}{2}}$$なので、最も近い整数は$$6$$である。

切断線と上側の直線との交点を $x=-q$ とおく。小さい側の領域を、左半分の面積から2直線間の三角形を引いたものとして表すと、面積比から $q$ がすぐ決まる。第(2)問は2曲線の差を先に因数分解して積分を整理する。

(1) $q=1\mathrm{/}(1-a)$ とおくと $0<q<1$ であり、切断線は上側の直線と $x=-q$ で交わる。図形 $A$ の左半分の面積は対称性から $4\mathrm{/}3$ である。$x=-q$ から $x=0$ まで、上側の直線と切断線の間にできる部分は底辺 $q$、高さ1の三角形だから、その面積は $q\mathrm{/}2$ である。

したがって小さい側の面積は$${\displaystyle \frac{4}{3}}-{\displaystyle \frac{q}{2}}\mathrm{.}$$面積比が $1:2$ で、全体の面積が $8\mathrm{/}3$ だから$${\displaystyle \frac{4}{3}}-{\displaystyle \frac{q}{2}}={\displaystyle \frac{8}{9}}\mathrm{.}$$よって $q=8\mathrm{/}9$ であり$${\displaystyle \frac{1}{1-a}}={\displaystyle \frac{8}{9}}$$から$$a=-{\displaystyle \frac{1}{8}}\mathrm{.}$$(2) 2曲線の差は$$(1-{\displaystyle \frac{x}{8}})-({\displaystyle \frac{x^2}{4}}+x+1)=-{\displaystyle \frac{x(2x+9)}{8}}\mathrm{.}$$交点は $x=-9\mathrm{/}2,0$ である。回転体の体積は和と差の積を使って$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\displaystyle \frac{V}{\pi }}}& {\displaystyle ={\int }_{-9\mathrm{/}2}^0[{(1-{\displaystyle \frac{x}{8}})}^2-{({\displaystyle \frac{x^2}{4}}+x+1)}^2]dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\int }_{-9\mathrm{/}2}^0\{-{\displaystyle \frac{x(2x+9)}{8}}\}({\displaystyle \frac{x^2}{4}}+{\displaystyle \frac{7x}{8}}+2)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{7533}{1280}}\mathrm{.}}\end{array}$$この値は $5.5$ より大きく6より小さいので、最も近い整数は$$6$$である。