東北大学 1989年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

(1) 球の方程式を平方完成すると$$(x+1{)}^2+(y-2{)}^2+(z+2{)}^2=25.$$したがって球の中心は$$S=(-1,2,-2)$$で、半径は5である。平面を$$6x-2y+3z-5=0$$と書くと、法線ベクトルは $\mathit{n}=(6,-2,3)$、その長さは7である。$S$ を左辺に代入した値は $-21$ だから、$S$ と平面の距離は3である。

切り口の中心 $H$ は $S$ から平面へ下ろした垂線の足なので$$\begin{array}{rl}{\displaystyle H}& {\displaystyle =S-{\displaystyle \frac{-21}{6^2+(-2{)}^2+3^2}}\mathit{n}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(-1,2,-2)+{\displaystyle \frac{3}{7}}(6,-2,3)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =({\displaystyle \frac{11}{7}},{\displaystyle \frac{8}{7}},-{\displaystyle \frac{5}{7}})\mathrm{.}}\end{array}$$切り口の半径を $r$ とすると、球の中心・切り口の中心・円周上の点が作る直角三角形から$$r=\sqrt{5^2-3^2}=4.$$(2) 求める点を $T$ とする。円 $C$ の中心を通る任意の直径の両端を $U,V$ とすれば、$TU=TV$ より $T$ は線分 $UV$ の垂直二等分面上にある。向きの異なる2本の直径について考えると、$T$ は $H$ を通り切断平面に垂直な直線上になければならない。

そこで$$T=H+\lambda {\displaystyle \frac{\mathit{n}}{7}}$$とおく。円周上の任意の点 $X$ に対して $HX=4$、また $HT\perp HX$ だから$$T{X}^2=H{T}^2+H{X}^2={\lambda }^2+16.$$これが32に等しいので $\lambda =\pm 4$ である。よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle T}& {\displaystyle =H\pm {\displaystyle \frac{4}{7}}(6,-2,3)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(5,0,1),(-{\displaystyle \frac{13}{7}},{\displaystyle \frac{16}{7}},-{\displaystyle \frac{17}{7}})\mathrm{.}}\end{array}$$

切り口の中心 $H$ を求めた後、求める点 $T$ から $H$ へのベクトルを、切断平面に平行な成分と垂直な成分に分ける。円周上の点を反対側へ動かしても距離が一定である条件から平行成分が0と分かり、残る垂直成分の長さを求める。

(1) 球の中心は $S=(-1,2,-2)$、半径は5である。切断平面の法線方向を $(6,-2,3)$ とすると、$S$ を通る垂線は$$(x,y,z)=(-1,2,-2)+\mu (6,-2,3)$$である。これを平面の式に代入すると$$-16+49\mu =5,$$したがって $\mu =3\mathrm{/}7$ である。よって切り口の中心は$$H=({\displaystyle \frac{11}{7}},{\displaystyle \frac{8}{7}},-{\displaystyle \frac{5}{7}}),$$半径は$$\sqrt{25-S{H}^2}=\sqrt{25-9}=4$$である。

(2) $\overrightarrow{HT}$ の切断平面に平行な成分を $\mathit{p}$、垂直な成分を $\mathit{q}$ とする。平面内の長さ4の任意のベクトルを $\mathit{u}$ とすれば、円周上の点は $H+\mathit{u}$ と表せるから$$\mathrm{\mid }T-(H+\mathit{u}){\mathrm{\mid }}^2=\mathrm{\mid }\mathit{p}-\mathit{u}{\mathrm{\mid }}^2+\mathrm{\mid }\mathit{q}{\mathrm{\mid }}^2\mathrm{.}$$$\mathit{u}$ と $-\mathit{u}$ に対する値が等しいので$$\mathit{p}\cdot \mathit{u}=0$$が平面内のすべての $\mathit{u}$ について成り立つ。ゆえに $$\mathit{p}=\mathbf{0}$$ であり、$T$ は $H$ を通る法線上にある。

さらに$$32=T{X}^2=\mathrm{\mid }\mathit{q}{\mathrm{\mid }}^2+4^2$$より $\mathrm{\mid }\mathit{q}\mathrm{\mid }=4$ である。単位法線ベクトルは $(6,-2,3)\mathrm{/}7$ だから、求める2点は$$H\pm {\displaystyle \frac{4}{7}}(6,-2,3)=(5,0,1),(-{\displaystyle \frac{13}{7}},{\displaystyle \frac{16}{7}},-{\displaystyle \frac{17}{7}})$$である。