東北大学 1989年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

(1) $$\mathit{a}=(2,a_2,a_3)$$ は $xy$ 平面上の方向ベクトルなので $a_3=0$ である。また平面 $\alpha$ に平行だから$$2+2a_2+2a_3=0.$$したがって$$\mathit{a}=(2,-1,0)\mathrm{.}$$$$\mathit{b}=(2,b_2,b_3)$$ は $\mathit{a}$ に垂直であるから$$\mathit{a}\cdot \mathit{b}=4-b_2=0,$$よって $b_2=4$ である。さらに $\mathit{b}$ は $\alpha$ に平行なので$$2+2b_2+2b_3=0.$$これより $b_3=-5$ であり$$\mathit{b}=(2,4,-5)\mathrm{.}$$(2) 原データの $$s\mathit{a}=t\mathit{b}$$ は、互いに垂直な零でない2ベクトルに対して成り立たず、そのままでは $Q=O$ しか表せない。ここでは数学的に必要な$$\overrightarrow{OQ}=s\mathit{a}+t\mathit{b}$$という補正に従う。このとき$$Q=(2s+2t,-s+4t,-5t)\mathrm{.}$$直線 $PQ$ 上の点を$$P+\lambda (Q-P)$$と表す。その $z$ 座標が0になる条件は$$5+\lambda (-5t-5)=0$$だから$$\lambda ={\displaystyle \frac{1}{t+1}}\mathrm{.}$$したがって $xy$ 平面との交点を $W=(X,Y,0)$ とすると$$X={\displaystyle \frac{2s+2t}{t+1}},Y={\displaystyle \frac{-s+4t}{t+1}}\mathrm{.}$$これが円 $C$ 上にあるための必要十分条件は$${\left({\displaystyle \frac{2s+2t}{t+1}}\right)}^2+{\left({\displaystyle \frac{-s+4t}{t+1}}\right)}^2=4.$$分母を払い、交差項を整理すると$$5s^2+20t^2=4(t+1{)}^2,$$すなわち$$\begin{array}{cccc}& 5s^2+16{(t-{\displaystyle \frac{1}{4}})}^2=5.& & \text{(1)}\end{array}$$(1)を満たすとき $t=-1$ にはなり得ないので、分母の条件も自動的に満たされる。よって求める条件は (1) である。

直線 $PQ$ が円と交わるなら、その交点を $W=(2\cos \varphi ,2\sin \varphi ,0)$ とおける。$P,W,Q$ が一直線上にある条件から $Q$ を表し、$Q=s\mathit{a}+t\mathit{b}$ の座標と比較する。これにより条件の必要性と十分性を同時に示す。

(1) $\mathit{a}$ は $z=0$ と $x+2y+2z=0$ を同時に満たす方向なので$$\mathit{a}=(2,-1,0)\mathrm{.}$$$$\mathit{b}=(2,b_2,b_3)$$ に対し$$\mathit{a}\cdot \mathit{b}=0,(1,2,2)\cdot \mathit{b}=0$$を解くと$$\mathit{b}=(2,4,-5)\mathrm{.}$$(2) 円 $C$ 上の点を$$W=(2\cos \varphi ,2\sin \varphi ,0)$$とする。$P,W,Q$ が一直線上にあり、$Q$ の $z$ 座標が $-5t$ であることから$$Q=P+(t+1)(W-P)$$と書ける。したがって$$Q=(2(t+1)\cos \varphi ,2(t+1)\sin \varphi ,-5t)\mathrm{.}$$一方$$s\mathit{a}+t\mathit{b}=(2s+2t,-s+4t,-5t)\mathrm{.}$$最初の2成分を比較して2乗和を取ると$$(2s+2t{)}^2+(-s+4t{)}^2=4(t+1{)}^2\mathrm{.}$$左辺を整理すれば$$5s^2+20t^2=4(t+1{)}^2,$$すなわち$$5s^2+16{(t-{\displaystyle \frac{1}{4}})}^2=5.$$逆にこの条件を満たせば、上の2成分を $2(t+1)$ で割った値の2乗和が1になるので、適当な $\varphi$ が存在する。したがってこの条件は必要十分である。