東北大学 1990年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

(1)
球面 $B$ の中心を $C$ とすると $C=(3,4,12)$ であり、半径は $13$ である。また $$OC=\sqrt{3^2+4^2+{12}^2}=13$$ なので、原点 $O$ は確かに球面上にある。接平面は半径 $OC$ に垂直だから、法線ベクトルは $(3,4,12)$ である。原点を通るので、求める平面は $H:3x+4y+12z=0$ である。

(2) $P$ は平面 $H$ 上にあるので、$OP$ は法線方向 $OC$ と垂直である。したがって三平方の定理より $C{P}^2=C{O}^2+O{P}^2=169+O{P}^2$ である。

中心 $P$、半径1の球面が、中心 $C$、半径13の球面 $B$ と交わるためには、中心間距離が $13-1\leqq CP\leqq 13+1$ を満たせばよい。ここでは $CP\geqq 13$ がすでに成り立つので、必要十分条件は $CP\leqq 14$ である。よって $169+O{P}^2\leqq 196$ すなわち $O{P}^2\leqq 27$ である。したがって $P$ の動く範囲は、平面 $H$ 上で中心 $O$、半径 $3\sqrt{3}$ の円板であり、その面積は $27\pi$ である。

次に、頂点 $T=(9,12,36)$ から平面 $H$ までの距離を求める。平面の法線の長さは $$\sqrt{3^2+4^2+{12}^2}=13$$ であり、$$3\cdot 9+4\cdot 12+12\cdot 36=507$$ だから、高さは $${\displaystyle \frac{507}{13}}=39$$ である。よって錐体 $E$ の体積は $$V={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot 27\pi \cdot 39=351\pi$$ である。

接平面は中心と接点を結ぶ半径に垂直である。平面上の点 $P$ と球の中心の距離を三平方で表し、半径1と13の球が交わる条件から $P$ の円板を決める。最後に頂点から平面までの距離を求める。

(1)
球面 $B$ の中心を$$C=(3,4,12)$$とすると$$\mathrm{\mid }OC\mathrm{\mid }=13.$$よって $O$ は球面上にあり、接平面の法線は $\overrightarrow{OC}$ である。したがって$$H:3x+4y+12z=0.$$(2)
$P\in H$ なので $OP\perp OC$ であり、$$C{P}^2=O{C}^2+O{P}^2=169+O{P}^2\mathrm{.}$$半径13の球面と半径1の球面が交わる条件は$$12\leqq CP\leqq 14.$$ここでは $CP\geqq 13$ だから、必要なのは $CP\leqq 14$ だけである。よって$$O{P}^2\leqq 27.$$したがって $P$ の動く範囲は、$H$ 上で中心 $O$、半径 $3\sqrt{3}$ の円板であり、底面積は$$27\pi \mathrm{.}$$頂点 $T=(9,12,36)$ から $H$ までの距離は$${\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }3\cdot 9+4\cdot 12+12\cdot 36\mathrm{\mid }}{\sqrt{3^2+4^2+{12}^2}}}={\displaystyle \frac{507}{13}}=39.$$よって$$V={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot 27\pi \cdot 39=351\pi \mathrm{.}$$