東北大学 1989年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

(1) $$c=\cos \theta ,s=\sin \theta$$ とおくと$$A=c\left(\begin{array}{cc}c& -s\\ s& c\end{array}\right)\mathrm{.}$$右側の行列は角 $\theta$ の回転を表し、全体はその後に $c$ 倍する相似変換である。したがって円 $C$ の像 $C_1$ も円である。

$C$ の中心は $I=(2,0)$、半径は $2\mathrm{/}\sqrt{3}$ だから、像の中心は$$I_1=A\left(\begin{array}{c}2\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2c^2\\ 2sc\end{array}\right),$$半径は$$r_1={\displaystyle \frac{2c}{\sqrt{3}}}$$である。

(2) 2中心間の距離を $d$ とすると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle d^2}& {\displaystyle =(2c^2-2{)}^2+(2sc{)}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =4(1-c^2)=4s^2\mathrm{.}}\end{array}$$$0<\theta <\pi \mathrm{/}2$ より $d=2s$ である。外接条件は$$2s={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}}+{\displaystyle \frac{2c}{\sqrt{3}}},$$すなわち$$\begin{array}{cccc}& \sqrt{3}\sin \theta =1+\cos \theta \mathrm{.}& & \text{(1)}\end{array}$$半角公式を用いると$$2\sqrt{3}\sin {\displaystyle \frac{\theta }{2}}\cos {\displaystyle \frac{\theta }{2}}=2{\cos }^2{\displaystyle \frac{\theta }{2}}\mathrm{.}$$$\cos (\theta \mathrm{/}2)>0$ だから$$\tan {\displaystyle \frac{\theta }{2}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}\mathrm{.}$$範囲条件より$$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{3}}\mathrm{.}$$

出力座標を $(X,Y)$ とし、変換が長さを $\cos \theta$ 倍することを内積計算で確かめる。中心の像からの距離を使って $C_1$ の方程式を直接書き、外接条件を解く。

(1) 任意のベクトル $\mathit{u}$ に対して$$\mathrm{\mid }A\mathit{u}{\mathrm{\mid }}^2={\cos }^2\theta \mathrm{\mid }\mathit{u}{\mathrm{\mid }}^2$$が成り立つ。よって中心 $I=(2,0)$ から半径 $2\mathrm{/}\sqrt{3}$ の円上の点は、変換後に $AI$ から距離$${\displaystyle \frac{2\cos \theta }{\sqrt{3}}}$$の点へ移る。したがって $C_1$ の方程式は$$(X-2{\cos }^2\theta {)}^2+(Y-2\sin \theta \cos \theta {)}^2={\displaystyle \frac{4{\cos }^2\theta }{3}}\mathrm{.}$$中心は$$(2{\cos }^2\theta ,2\sin \theta \cos \theta )$$で、半径は $2\cos \theta \mathrm{/}\sqrt{3}$ である。

(2) 元の中心 $(2,0)$ と像の中心との距離は$$\sqrt{(2{\cos }^2\theta -2{)}^2+(2\sin \theta \cos \theta {)}^2}=2\sin \theta \mathrm{.}$$外接するため$$2\sin \theta ={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}}(1+\cos \theta )\mathrm{.}$$$1+\cos \theta >0$ なので$${\displaystyle \frac{\sin \theta }{1+\cos \theta }}=\tan {\displaystyle \frac{\theta }{2}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}\mathrm{.}$$したがって$$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{3}}\mathrm{.}$$