東北大学 1990年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第5問

(1)
線分 $P_0{P}_1$ は $x$ 軸方向で長さ1である。条件(ii)より、次の線分はこれに直交するので鉛直方向、その次は水平方向、というように方向が交互に変わる。したがって、奇数番目の線分は水平、偶数番目の線分は鉛直である。

まず $n=2m$ のとき、水平線分は $m$ 本、鉛直線分も $m$ 本ある。終点 $P_{2m}$ の水平成分の絶対値は最大でも $m$、鉛直成分の絶対値も最大でも $m$ である。よって $$\mathrm{\mid }{P}_0{P}_{2m}\mathrm{\mid }\leqq \sqrt{m^2+m^2}=m\sqrt{2}$$ である。この上限は、水平線分をすべて同じ向き、鉛直線分もすべて同じ向きに取れば実現できる。したがって $L_{2m}=m\sqrt{2}$ である。

次に $n=2m+1$ のとき、水平線分は $m+1$ 本、鉛直線分は $m$ 本ある。同様に $$\mathrm{\mid }{P}_0{P}_{2m+1}\mathrm{\mid }\leqq \sqrt{(m+1{)}^2+m^2}$$ であり、この上限も同じ方向の成分をそろえれば実現できる。よって $$L_{2m+1}=\sqrt{(m+1{)}^2+m^2}$$ である。

(2)
(1)より $$L_{2m+1}-L_{2m}=\sqrt{(m+1{)}^2+m^2}-m\sqrt{2}$$ である。右辺を有理化すると$${\displaystyle \frac{(m+1{)}^2+m^2-2m^2}{\sqrt{(m+1{)}^2+m^2}+m\sqrt{2}}}={\displaystyle \frac{2m+1}{\sqrt{2m^2+2m+1}+m\sqrt{2}}}$$である。分母分子を $m$ で割ると ${\displaystyle \frac{2+{\displaystyle \frac{1}{m}}}{\sqrt{2+{\displaystyle \frac{2}{m}}+{\displaystyle \frac{1}{m^2}}}+\sqrt{2}}}$ となる。したがって$$\underset{m\to \mathrm{\infty }}{\lim }(L_{2m+1}-L_{2m})={\displaystyle \frac{2}{2\sqrt{2}}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$$である。

各単位線分は水平・鉛直が交互に現れる。水平成分と鉛直成分の絶対値をそれぞれ本数で上から押さえ、両方の等号を同時に実現する配置を示す。極限は有理化する。

(1)
第1辺は水平であり、その後は水平・鉛直が交互に現れる。

$n=2m$ のとき、水平辺と鉛直辺はそれぞれ $m$ 本である。終点の座標を $(X,Y)$ とすれば$$\mathrm{\mid }X\mathrm{\mid }\leqq m,\mathrm{\mid }Y\mathrm{\mid }\leqq m\mathrm{.}$$よって$$\mathrm{\mid }{P}_0{P}_{2m}\mathrm{\mid }\leqq \sqrt{m^2+m^2}=m\sqrt{2}\mathrm{.}$$水平辺をすべて右向き、鉛直辺をすべて上向きにすれば等号が成立するので$$L_{2m}=m\sqrt{2}\mathrm{.}$$$n=2m+1$ のときは水平辺が $m+1$ 本、鉛直辺が $m$ 本だから、同様に$$L_{2m+1}=\sqrt{(m+1{)}^2+m^2}\mathrm{.}$$(2)$$\begin{array}{rl}{\displaystyle L_{2m+1}-L_{2m}}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2m+1}{\sqrt{2m^2+2m+1}+m\sqrt{2}}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2+1\mathrm{/}m}{\sqrt{2+2\mathrm{/}m+1\mathrm{/}{m}^2}+\sqrt{2}}}\mathrm{.}}\end{array}$$したがって$$\underset{m\to \mathrm{\infty }}{\lim }(L_{2m+1}-L_{2m})={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}\mathrm{.}$$