東北大学 1990年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第3問

放物線 $y^2=x$ 上の点を $P=(u^2,u)$ とおく。$P\mathrm{\ne }O$ より $u\mathrm{\ne }0$ である。また、放物線 $y=x^2$ 上の点を $Q=(v,v^2)$ とおく。$Q\mathrm{\ne }O$ より $v\mathrm{\ne }0$ である。

直交条件 $\overrightarrow{OP}\perp \overrightarrow{OQ}$ より $$(u^2,u)\cdot (v,v^2)=u^{2}v+u{v}^2=uv(u+v)=0$$ である。$u\mathrm{\ne }0$、$v\mathrm{\ne }0$ だから $v=-u$ である。したがって $Q=(-u,u^2)$ である。

次に、$y=x^2$ の $x=v=-u$ における接線を求める。接線の傾きは $2v=-2u$ なので $y-u^2=-2u(x+u)$ すなわち $y=-2ux-u^2$ である。これと $x$ 軸との交点は $y=0$ として $-2ux-u^2=0$ より $$R=(-{\displaystyle \frac{u}{2}},0)$$ である。

いま $$\overrightarrow{OR}=p\overrightarrow{OP}+q\overrightarrow{OQ}$$ だから、成分比較により $$-{\displaystyle \frac{u}{2}}=p{u}^2-qu,0=pu+q{u}^2$$ である。第2式を $u\mathrm{\ne }0$ で割ると $p+qu=0$ すなわち $p=-qu$ である。これを第1式に代入して $u$ で割ると $$-{\displaystyle \frac{1}{2}}=pu-q=-q{u}^2-q=-q(1+u^2)$$ となる。よって $$q={\displaystyle \frac{1}{2(1+u^2)}},p=-{\displaystyle \frac{u}{2(1+u^2)}}$$ である。

この表示から $$p^2={\displaystyle \frac{u^2}{4(1+u^2{)}^2}}$$ であり、また$$q({\displaystyle \frac{1}{2}}-q)={\displaystyle \frac{1}{2(1+u^2)}}\{{\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{2(1+u^2)}}\}={\displaystyle \frac{u^2}{4(1+u^2{)}^2}}$$である。したがって $$p^2=q({\displaystyle \frac{1}{2}}-q)$$ である。これを平方完成すると $$p^2+{(q-{\displaystyle \frac{1}{4}})}^2={\displaystyle \frac{1}{16}}$$ である。

さらに $u\mathrm{\ne }0$ なので $0<q<{\displaystyle \frac{1}{2}}$ である。よって点 $(p,q)$ の描く図形は、中心 $(0,{\displaystyle \frac{1}{4}})$、半径 ${\displaystyle \frac{1}{4}}$ の円のうち、2点 $(0,0),(0,{\displaystyle \frac{1}{2}})$ を除いた部分である。

2つの放物線上の点を1変数で表し、直交条件で媒介変数を1つにする。位置ベクトルの係数比較から $u=-p\mathrm{/}q$ を得て、もう1本の式へ代入して媒介変数を消去する。

点を$$P=(u^2,u),Q=(v,v^2)$$とおく。$P,Q\mathrm{\ne }O$ だから $u,v\mathrm{\ne }0$ である。直交条件から$$u^{2}v+u{v}^2=uv(u+v)=0$$なので$$v=-u,Q=(-u,u^2)\mathrm{.}$$$Q$ における接線は$$y=-2ux-u^2$$だから$$R=(-{\displaystyle \frac{u}{2}},0)\mathrm{.}$$係数比較により$$-{\displaystyle \frac{u}{2}}=p{u}^2-qu,0=pu+q{u}^2\mathrm{.}$$第2式から$$p=-qu\mathrm{.}$$これを第1式へ代入すると$$q={\displaystyle \frac{1}{2(1+u^2)}},p=-{\displaystyle \frac{u}{2(1+u^2)}}\mathrm{.}$$ここで $u=-p\mathrm{/}q$ を$$2q(1+u^2)=1$$へ代入すると$$p^2=q({\displaystyle \frac{1}{2}}-q)\mathrm{.}$$したがって$$p^2+{(q-{\displaystyle \frac{1}{4}})}^2={\displaystyle \frac{1}{16}}\mathrm{.}$$$u\mathrm{\ne }0$ なので $0<q<1\mathrm{/}2$。よって軌跡は、中心 $(0,1\mathrm{/}4)$、半径 $1\mathrm{/}4$ の円から$$(0,0),(0,1\mathrm{/}2)$$を除いた部分である。