東北大学 1990年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第4問

(1)
まず $$f(x)-{\displaystyle \frac{3}{5}}={\displaystyle \frac{5}{2}}x(1-x)-{\displaystyle \frac{3}{5}}$$ を因数分解する。展開して整理すると $$f(x)-{\displaystyle \frac{3}{5}}=-{\displaystyle \frac{5}{2}}(x-{\displaystyle \frac{3}{5}})(x-{\displaystyle \frac{2}{5}})$$ である。したがって $x\mathrm{\ne }{\displaystyle \frac{3}{5}}$ のとき $${\displaystyle \frac{f(x)-{\displaystyle \frac{3}{5}}}{x-{\displaystyle \frac{3}{5}}}}=-{\displaystyle \frac{5}{2}}(x-{\displaystyle \frac{2}{5}})$$ である。

いま ${\displaystyle \frac{2}{5}}<x<{\displaystyle \frac{4}{5}}$ だから $0<x-{\displaystyle \frac{2}{5}}<{\displaystyle \frac{2}{5}}$ であり、両辺に $-{\displaystyle \frac{5}{2}}$ を掛けると不等号の向きが変わって $$-1<-{\displaystyle \frac{5}{2}}(x-{\displaystyle \frac{2}{5}})<0$$ となる。よって $$-1<{\displaystyle \frac{f(x)-{\displaystyle \frac{3}{5}}}{x-{\displaystyle \frac{3}{5}}}}<0$$ である。

(2)
まず $x_0={\displaystyle \frac{1}{2}}$ なので ${\displaystyle \frac{2}{5}}<x_0<{\displaystyle \frac{3}{5}}$ である。また $$x_1=f\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)={\displaystyle \frac{5}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{5}{8}}$$ だから ${\displaystyle \frac{3}{5}}<x_1<{\displaystyle \frac{4}{5}}$ である。

ここで、${\displaystyle \frac{2}{5}}<x_n<{\displaystyle \frac{4}{5}}$、$x_n\mathrm{\ne }{\displaystyle \frac{3}{5}}$ が成り立つとする。(1)より $$-1<{\displaystyle \frac{x_{n+1}-{\displaystyle \frac{3}{5}}}{x_n-{\displaystyle \frac{3}{5}}}}<0$$ である。したがって $x_{n+1}-{\displaystyle \frac{3}{5}}$ は $x_n-{\displaystyle \frac{3}{5}}$ と符号が反対で、しかも絶対値は小さくなる。すなわち $$0<\mid x_{n+1}-{\displaystyle \frac{3}{5}}\mid <\mid x_n-{\displaystyle \frac{3}{5}}\mid$$ である。

このことから、$x_0$ が ${\displaystyle \frac{3}{5}}$ より小さく、$x_1$ が ${\displaystyle \frac{3}{5}}$ より大きいので、偶数番目は常に ${\displaystyle \frac{3}{5}}$ より小さく、奇数番目は常に ${\displaystyle \frac{3}{5}}$ より大きい。また距離が毎回小さくなるため、偶数番目は増加し、奇数番目は減少する。したがって$$x_0<x_2<\cdots <x_{2k}<x_{2k+2}<\cdots <{\displaystyle \frac{3}{5}}<\cdots <x_{2k+3}<x_{2k+1}<\cdots <x_3<x_1$$が成り立つ。

不動点 $3\mathrm{/}5$ からの差を $e_n$ と置く。因数分解により、差は毎回符号を変えながら絶対値が縮むことを示し、偶数列と奇数列の単調性を同時に得る。

(1) $$f(x)-{\displaystyle \frac{3}{5}}=-{\displaystyle \frac{5}{2}}(x-{\displaystyle \frac{3}{5}})(x-{\displaystyle \frac{2}{5}})\mathrm{.}$$したがって $x\mathrm{\ne }3\mathrm{/}5$ なら$${\displaystyle \frac{f(x)-3\mathrm{/}5}{x-3\mathrm{/}5}}=-{\displaystyle \frac{5}{2}}(x-{\displaystyle \frac{2}{5}})\mathrm{.}$$$2\mathrm{/}5<x<4\mathrm{/}5$ では右辺は $-1$ と0の間にある。

(2) $$e_n=x_n-{\displaystyle \frac{3}{5}}$$とおく。(1)から$$e_{n+1}=-{\displaystyle \frac{5}{2}}(x_n-{\displaystyle \frac{2}{5}})e_n\mathrm{.}$$$2\mathrm{/}5<x_n<4\mathrm{/}5$ なら$$-1<-{\displaystyle \frac{5}{2}}(x_n-{\displaystyle \frac{2}{5}})<0.$$よって $e_{n+1}$ は $e_n$ と反対符号で、$$0<\mathrm{\mid }{e}_{n+1}\mathrm{\mid }<\mathrm{\mid }{e}_n\mathrm{\mid }\mathrm{.}$$実際$$x_0={\displaystyle \frac{1}{2}}<{\displaystyle \frac{3}{5}},x_1={\displaystyle \frac{5}{8}}>{\displaystyle \frac{3}{5}}\mathrm{.}$$したがって帰納的に、偶数番目は $3\mathrm{/}5$ より下で増加し、奇数番目は $3\mathrm{/}5$ より上で減少する。ゆえに$$x_0<x_2<\cdots <x_{2k}<x_{2k+2}<\cdots <{\displaystyle \frac{3}{5}}$$かつ$${\displaystyle \frac{3}{5}}<\cdots <x_{2k+3}<x_{2k+1}<\cdots <x_3<x_1\mathrm{.}$$