東北大学 1995年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第4問

(1) $x^2+2x=x(x+2)$ である。したがって $$x^2+2x\geqq 0(x\leqq -2,0\leqq x),x^2+2x<0(-2<x<0)$$ である。よって $f(x)=\mathrm{\mid }{x}^2+2x\mathrm{\mid }-(x^2+2x)$ は$$f(x)=\{\begin{array}{ll}0& (x\leqq -2,0\leqq x),\\ -2x^2-4x& (-2\leqq x\leqq 0)\end{array}$$となる。内側では $-2x^2-4x=2-2(x+1{)}^2$ だから，$(-1,2)$ を頂点とする上に凸の放物線であり，$(-2,0)$，$(0,0)$ を通る。外側では $x$ 軸上のグラフである。

(2) $$g(x)={\int }_{-2}^{x}f(t)dt$$である。$x\leqq -2$ では積分区間で $f(t)=0$ なので $g(x)=0$ である。$-2\leqq x\leqq 0$ では$$g(x)={\int }_{-2}^x(-2t^2-4t)dt={[-{\displaystyle \frac{2}{3}}{t}^3-2t^2]}_{-2}^x$$であり，$$g(x)=-{\displaystyle \frac{2}{3}}{x}^3-2x^2+{\displaystyle \frac{8}{3}}$$ となる。$x\geqq 0$ では $f(t)=0$ が続くので，$g(x)$ は $g(0)$ に等しい。したがって $g(0)={\displaystyle \frac{8}{3}}$ より$$g(x)=\{\begin{array}{ll}0& (x\leqq -2),\\ -{\displaystyle \frac{2}{3}}{x}^3-2x^2+{\displaystyle \frac{8}{3}}& (-2\leqq x\leqq 0),\\ {\displaystyle \frac{8}{3}}& (0\leqq x)\end{array}$$である。このグラフは $x\leqq -2$ で $x$ 軸上，$-2\leqq x\leqq 0$ で増加し，$x\geqq 0$ で水平になる。

(3) $-2<x<0$ では $g^{\mathrm{\prime }}(x)=f(x)=-2x^2-4x$ である。外側では $g^{\mathrm{\prime }}(x)=0$ なので，傾き $3\mathrm{/}2$ の接線は $-2<x<0$ にある。条件は $-2x^2-4x={\displaystyle \frac{3}{2}}$ であり，両辺に2を掛けて整理すると $4x^2+8x+3=0$ である。よって $$x=-{\displaystyle \frac{1}{2}},x=-{\displaystyle \frac{3}{2}}$$ である。

接点の $y$ 座標を求めると$$g(-{\displaystyle \frac{1}{2}})={\displaystyle \frac{9}{4}},g(-{\displaystyle \frac{3}{2}})={\displaystyle \frac{5}{12}}$$である。したがって接線はそれぞれ$$y-{\displaystyle \frac{9}{4}}={\displaystyle \frac{3}{2}}(x+{\displaystyle \frac{1}{2}}),y-{\displaystyle \frac{5}{12}}={\displaystyle \frac{3}{2}}(x+{\displaystyle \frac{3}{2}})$$である。整理して $$y={\displaystyle \frac{3}{2}}x+3,y={\displaystyle \frac{3}{2}}x+{\displaystyle \frac{8}{3}}$$ を得る。

【$f$ とその積分 $g$】

中心を $u=x+1$ へ移し、関数の左右対称性を利用する。積分関数を頂点が原点上方にある単純な放物線へ直すことで、グラフと2本の接線を対称に求める。

(1)
$u=x+1$ とおくと $x^2+2x=u^2-1$ だから$$f(x)=\{\begin{array}{ll}2(1-u^2)& (\mathrm{\mid }u\mathrm{\mid }\leqq 1),\\ 0& (\mathrm{\mid }u\mathrm{\mid }\geqq 1)\mathrm{.}\end{array}$$したがって $-2\leqq x\leqq 0$ では頂点 $(-1,2)$ の放物線、
その外側では $x$ 軸である。

(2)
$h(u)=g(u-1)$ とおく。 $-1\leqq u\leqq 1$ では$$\begin{array}{rl}{\displaystyle h(u)}& {\displaystyle ={\int }_{-1}^{u}2(1-v^2)dv}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2u-{\displaystyle \frac{2}{3}}{u}^3+{\displaystyle \frac{4}{3}}\mathrm{.}}\end{array}$$よって$$g(x)=\{\begin{array}{ll}0& (x\leqq -2),\\ 2(x+1)-{\displaystyle \frac{2}{3}}(x+1{)}^3+{\displaystyle \frac{4}{3}}& (-2\leqq x\leqq 0),\\ {\displaystyle \frac{8}{3}}& (x\geqq 0)\mathrm{.}\end{array}$$中央の曲線は点 $(-1,4\mathrm{/}3)$ に関して$$g(-1-u)+g(-1+u)={\displaystyle \frac{8}{3}}$$という対称性をもつ。

(3)
接線の傾きは$$g^{\mathrm{\prime }}(x)=f(x)=2\{1-(x+1{)}^2\}\mathrm{.}$$これが $3\mathrm{/}2$ となるのは$$(x+1{)}^2={\displaystyle \frac{1}{4}},$$すなわち $x=-3\mathrm{/}2,-1\mathrm{/}2$ のときである。対応する値は$$g(-{\displaystyle \frac{3}{2}})={\displaystyle \frac{5}{12}},g(-{\displaystyle \frac{1}{2}})={\displaystyle \frac{9}{4}}\mathrm{.}$$したがって接線は$$y={\displaystyle \frac{3}{2}}x+{\displaystyle \frac{8}{3}},y={\displaystyle \frac{3}{2}}x+3$$である。