東北大学 1988年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

$$g(x)={\displaystyle \frac{2x^2+x-1}{x-1}}=2x+3+{\displaystyle \frac{2}{x-1}}$$とおく。零点と定義されない点は$$x=-1,x={\displaystyle \frac{1}{2}},x=1$$である。符号は$$\begin{array}{cccccccc}x& (-\mathrm{\infty },-1)& -1& (-1,1\mathrm{/}2)& 1\mathrm{/}2& (1\mathrm{/}2,1)& 1& (1,\mathrm{\infty })\\ g(x)& -& 0& +& 0& -& \text{未定義}& +\end{array}$$となる。また$$g^{\mathrm{\prime }}(x)=2-{\displaystyle \frac{2}{(x-1{)}^2}}={\displaystyle \frac{2x(x-2)}{(x-1{)}^2}}\mathrm{.}$$(1)
絶対値の折れ点から$$x=-1,{\displaystyle \frac{1}{2}}$$で極小値0をとる。区間 $(-1,1\mathrm{/}2)$ では $f=g$ であり、$g^{\mathrm{\prime }}$ は $x=0$ を境に正から負へ変わるから$$x=0\text{ で極大値 }1.$$区間 $(1,\mathrm{\infty })$ では $f=g$ であり、$g^{\mathrm{\prime }}$ は $x=2$ を境に負から正へ変わるから$$x=2\text{ で極小値 }9.$$(2)
垂直方向の漸近線は$$x=1.$$$x\to \mathrm{\infty }$ では $g>0$、$x\to -\mathrm{\infty }$ では $g<0$ だから、斜めの漸近線はそれぞれ$$y=2x+3(x\to \mathrm{\infty }),y=-2x-3(x\to -\mathrm{\infty })\mathrm{.}$$(3)
以上の増減、零点、3本の漸近線を用いて次のように描ける。

まず $g(x)=2x+3+2\mathrm{/}(x-1)$ のグラフを考え、負の部分だけを $x$ 軸対称に折り返す。主要区間の極値は $g-1$、$g-9$ を平方の形へ因数分解して示す。

$$g(x)=2x+3+{\displaystyle \frac{2}{x-1}},f(x)=\mathrm{\mid }g(x)\mathrm{\mid }$$とする。$g$ の零点は $-1,1\mathrm{/}2$ で、$x=1$ は定義されない。したがって $g$ の負の部分$$x<-1,{\displaystyle \frac{1}{2}}<x<1$$を $x$ 軸に関して折り返せば $f$ のグラフになる。

(1)
$-1<x<1\mathrm{/}2$ では $f=g$ であり、$$g(x)-1={\displaystyle \frac{2x^2}{x-1}}\leqq 0.$$等号は $x=0$ のときだけなので、ここで極大値1をとる。

$x>1$ では $f=g$ であり、$$g(x)-9={\displaystyle \frac{2(x-2{)}^2}{x-1}}\geqq 0.$$等号は $x=2$ のときだけなので、ここで極小値9をとる。また零点 $-1,1\mathrm{/}2$ は折り返し点であり、極小値0をとる。残る区間では$$g^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{2x(x-2)}{(x-1{)}^2}}$$の符号から単調であり、他の極値はない。

(2) $$g(x)-(2x+3)={\displaystyle \frac{2}{x-1}}$$より、$x=1$ が垂直方向の漸近線である。右では $f=g$、左の無限遠では $f=-g$ なので$$y=2x+3,y=-2x-3$$が左右それぞれの斜めの漸近線である。

(3)
$g$ の負の部分を上へ折り返し、(1) の4つの極値と (2) の漸近線を記入すれば概形が定まる。特に $x=1$ の左右ではともに $f(x)\to \mathrm{\infty }$ である。