東北大学 1991年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(1)
円 $x^2+y^2=1$ の中心は原点である。円に内接する正方形の中心も原点であり、隣り合う頂点は原点のまわりに90度回転して得られる。

点 $(p,q)$ を90度ずつ回転すると $(-q,p),(-p,-q),(q,-p)$ である。したがって残りの頂点は $(-q,p),(-p,-q),(q,-p)$ である。

(2)
(1)の4点が曲線 $y=f(x)$ 上にあるとする。もし $p=0$ または $q=0$ なら、同じ $x$ 座標に異なる2つの $y$ 座標をもつ点が現れるので、関数のグラフにはならない。また $p^2=q^2$ の場合も同様に、同じ $x$ に異なる $y$ が対応する。したがって $pq(p^2-q^2)\mathrm{\ne }0$ である。

4点は原点に関して対称な2組の点であるから、これらを通る3次関数は $f(x)=A{x}^3+Cx$ の形になる。条件 $f(p)=q,f(q)=-p$ より $$A{p}^2+C={\displaystyle \frac{q}{p}},A{q}^2+C=-{\displaystyle \frac{p}{q}}$$ である。差をとると $$A(p^2-q^2)={\displaystyle \frac{q}{p}}+{\displaystyle \frac{p}{q}}={\displaystyle \frac{p^2+q^2}{pq}}={\displaystyle \frac{1}{pq}}$$ であるから $$A={\displaystyle \frac{1}{pq(p^2-q^2)}}$$ である。さらに $$C=-{\displaystyle \frac{p^4+q^4}{pq(p^2-q^2)}}$$ となる。よって $$f(x)={\displaystyle \frac{x\{x^2-(p^4+q^4)\}}{pq(p^2-q^2)}}$$ である。

円との共有点を調べるために $x^2+f(x{)}^2=1$ を考える。$z=x^2$ とおくと、整理により $$(z^2-z+p^2{q}^2)(z+4p^2{q}^2-1)=0$$ となる。第1因子は $$z^2-z+p^2{q}^2=(z-p^2)(z-q^2)$$ であり、これは正方形の4頂点に対応する。

曲線と円がこの4点のみを共有するためには、もう1つの因子から出る $z=1-4p^2{q}^2$ が新しい正の値を与えてはならない。ここで $p^2+q^2=1$ なので $1-4p^2{q}^2=(p^2-q^2{)}^2$ である。したがって $(p^2-q^2{)}^2=p^2$ または $(p^2-q^2{)}^2=q^2$ でなければならない。 $r=p^2$、$q^2=1-r$ とおくと、この条件から $$\{p^2,q^2\}=\{{\displaystyle \frac{1}{4}},{\displaystyle \frac{3}{4}}\}$$ を得る。このとき $$p^4+q^4={\displaystyle \frac{5}{8}},\mathrm{\mid }pq(p^2-q^2)\mathrm{\mid }={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{8}}$$ である。分母の符号により2通りが生じるので $$f(x)={\displaystyle \frac{8x^3-5x}{\sqrt{3}}}$$ または $$f(x)=-{\displaystyle \frac{8x^3-5x}{\sqrt{3}}}$$ である。

正方形の頂点を $(p,q),(-q,p),(-p,-q),(q,-p)$ と書く。原点対称な4点を通る3次関数が奇関数になることを係数比較で示す。円との交点条件を $z=x^2$ の3次式として因数分解し、余分な根が既存の2根と一致する条件を調べる。

(1)
原点中心の90度回転を順に行えば、残りの3頂点は$$(-q,p),(-p,-q),(q,-p)$$である。

(2)
4点が関数のグラフ上にあるため$$pq(p^2-q^2)\mathrm{\ne }0.$$$f(x)=A{x}^3+B{x}^2+Cx+D$ とする。点 $(p,q)$、$(-p,-q)$ を代入した
2式を加え、同様に $(q,-p)$、$(-q,p)$ の2式を加えると$$B{p}^2+D=0,B{q}^2+D=0.$$$p^2\mathrm{\ne }{q}^2$ より $B=D=0$ である。したがって $f(x)=A{x}^3+Cx$ である。$$f(p)=q,f(q)=-p,p^2+q^2=1$$を解くと$$A={\displaystyle \frac{1}{pq(p^2-q^2)}},C=-{\displaystyle \frac{p^4+q^4}{pq(p^2-q^2)}}\mathrm{.}$$$z=x^2$ とおいて円との交点条件 $x^2+f(x{)}^2=1$ を整理すると$$(z-p^2)(z-q^2)\{z-(p^2-q^2{)}^2\}=0.$$共有点が4点だけであるには、第3の根が $p^2$ または $q^2$ と一致しなければならない。
$r=p^2,q^2=1-r$ とおけば$$(2r-1{)}^2=r$$または$$(2r-1{)}^2=1-r\mathrm{.}$$$pq(p^2-q^2)\mathrm{\ne }0$ に反する解を除くと$$\{p^2,q^2\}=\{{\displaystyle \frac{1}{4}},{\displaystyle \frac{3}{4}}\}\mathrm{.}$$よって$$p^4+q^4={\displaystyle \frac{5}{8}},\mathrm{\mid }pq(p^2-q^2)\mathrm{\mid }={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{8}}\mathrm{.}$$分母の符号に応じて$$f(x)={\displaystyle \frac{8x^3-5x}{\sqrt{3}}}$$または$$f(x)=-{\displaystyle \frac{8x^3-5x}{\sqrt{3}}}$$となる。