東北大学 1990年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第1問

(1) $$A=\left(\begin{array}{cc}1& -a\\ a& b\end{array}\right)$$とする。まず$$A^2=\left(\begin{array}{cc}1-a^2& -a(1+b)\\ a(1+b)& -a^2+b^2\end{array}\right)$$である。したがって $A^2+A+E=O$ は$$\left(\begin{array}{cc}3-a^2& -a(2+b)\\ a(2+b)& -a^2+b^2+b+1\end{array}\right)=O$$と同値である。$a>0$ だから、左上成分から $a^2=3$ より $a=\sqrt{3}$ である。また右上または左下成分から $2+b=0$ なので $b=-2$ である。このとき右下成分も $-3+4-2+1=0$ となり確かに成り立つ。よって$$A=\left(\begin{array}{cc}1& -\sqrt{3}\\ \sqrt{3}& -2\end{array}\right)$$である。

(2) $P=(2,p)$ が移る先を $Q$ とすると $$Q=(2-\sqrt{3}p,2\sqrt{3}-2p)$$ である。したがって $$\mathrm{\mid }\overrightarrow{OQ}{\mathrm{\mid }}^2=(2-\sqrt{3}p{)}^2+(2\sqrt{3}-2p{)}^2$$ であり、展開して $$\mathrm{\mid }\overrightarrow{OQ}{\mathrm{\mid }}^2=7p^2-12\sqrt{3}p+16$$ となる。一方 $$\mathrm{\mid }\overrightarrow{OP}{\mathrm{\mid }}^2=p^2+4$$ である。よって条件 $$\mathrm{\mid }\overrightarrow{OQ}\mathrm{\mid }\geqq \mathrm{\mid }\overrightarrow{OP}\mathrm{\mid }$$ は $$7p^2-12\sqrt{3}p+16\geqq p^2+4$$ すなわち $6(p^2-2\sqrt{3}p+2)\geqq 0$ である。平方完成すると $(p-\sqrt{3}{)}^2\geqq 1$ だから $$p\leqq \sqrt{3}-1,p\geqq \sqrt{3}+1$$ である。

(3)
比の2乗を$$R(p)={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }\overrightarrow{OQ}{\mathrm{\mid }}^2}{\mathrm{\mid }\overrightarrow{OP}{\mathrm{\mid }}^2}}={\displaystyle \frac{7p^2-12\sqrt{3}p+16}{p^2+4}}$$とおく。分母は常に正である。微分すると $$R^{\mathrm{\prime }}(p)={\displaystyle \frac{(14p-12\sqrt{3})(p^2+4)-2p(7p^2-12\sqrt{3}p+16)}{(p^2+4{)}^2}}$$ であり、分子を整理して $$R^{\mathrm{\prime }}(p)={\displaystyle \frac{12(\sqrt{3}{p}^2+2p-4\sqrt{3})}{(p^2+4{)}^2}}$$ となる。したがって臨界点は $\sqrt{3}{p}^2+2p-4\sqrt{3}=0$ の解、すなわち $$p={\displaystyle \frac{-\sqrt{3}+\sqrt{39}}{3}},p=-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}+\sqrt{39}}{3}}$$ である。

それぞれでの $R$ の値は ${\displaystyle \frac{11-3\sqrt{13}}{2}},{\displaystyle \frac{11+3\sqrt{13}}{2}}$ である。また $p$ が正または負に限りなく大きくなると $R(p)$ は $7$ に近づく。よって最大値は ${\displaystyle \frac{11+3\sqrt{13}}{2}}$ である。求める比そのものの最大値は $\sqrt{{\displaystyle \frac{11+3\sqrt{13}}{2}}}$ である。

(1) (2) は成分計算と平方完成で処理する。(3) は比の2乗が定数 $M$ 以下となる条件を $p$ の2次不等式に直し、すべての実数 $p$ で成り立つための判別式条件から最小の $M$ を決める。

(1)
成分を計算すると$$A^2+A+E=\left(\begin{array}{cc}3-a^2& -a(2+b)\\ a(2+b)& -a^2+b^2+b+1\end{array}\right)\mathrm{.}$$$a>0$ だから$$a=\sqrt{3},b=-2.$$よって$$A=\left(\begin{array}{cc}1& -\sqrt{3}\\ \sqrt{3}& -2\end{array}\right)\mathrm{.}$$(2)$$P=(2,p)$$の像は$$Q=(2-\sqrt{3}p,2\sqrt{3}-2p)\mathrm{.}$$したがって$$\mathrm{\mid }OQ{\mathrm{\mid }}^2-\mathrm{\mid }OP{\mathrm{\mid }}^2=6\{(p-\sqrt{3}{)}^2-1\}\mathrm{.}$$よって$$p\leqq \sqrt{3}-1\text{または}p\geqq \sqrt{3}+1.$$(3)
比の2乗を$$R(p)={\displaystyle \frac{7p^2-12\sqrt{3}p+16}{p^2+4}}$$とする。すべての実数 $p$ で $R(p)\leqq M$ となる条件は$$(M-7)p^2+12\sqrt{3}p+4M-16\geqq 0$$がすべての $p$ で成り立つことである。必要な最小の $M$ は $M>7$ で、判別式が0になるときだから$$(12\sqrt{3}{)}^2-4(M-7)(4M-16)=0.$$整理すると$$M^2-11M+1=0.$$大きい方の根を取り、$$M={\displaystyle \frac{11+3\sqrt{13}}{2}}\mathrm{.}$$よって比の最大値は$$\sqrt{{\displaystyle \frac{11+3\sqrt{13}}{2}}}\mathrm{.}$$