東北大学 1990年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第3問

直線 $L$ 上の点 $P$ は $$P=(s,0,1)(-1\leqq s\leqq 1)$$ と表せる。また $D$ 上の点 $Q$ は $$Q=(u,v,0),u^2+v^2\leqq 1$$ と表せる。

線分 $PQ$ 上で高さが $z=t$ である点は、$0\leqq t\leqq 1$ に対して $(1-t)Q+tP$ と書ける。したがってその $xy$ 座標は $((1-t)u+ts,(1-t)v)$ である。

ここで $(1-t)u,(1-t)v$ は半径 $1-t$ の円板を動き、$ts,0$ は $-t\leqq ts\leqq t$ を満たす水平線分を動く。したがって切り口 $H_t$ は、半径 $1-t$ の円板を長さ $2t$ の水平線分に沿って動かして得られる図形である。

これは、縦の幅 $2(1-t)$、横の長さ $2t$ の長方形に、半径 $1-t$ の半円2つを付けた形である。よって面積は $$S_t=2t\cdot 2(1-t)+\pi (1-t{)}^2$$ すなわち $S_t=4t(1-t)+\pi (1-t{)}^2$ である。

体積 $V$ は切り口の面積を高さ方向に積分して$$V={\int }_0^1{S}_{t}dt={\int }_0^1\{4t(1-t)+\pi (1-t{)}^2\}dt$$である。計算すると$${\int }_0^{1}4t(1-t)dt=4({\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{3}})={\displaystyle \frac{2}{3}}$$であり、$${\int }_0^1\pi (1-t{)}^{2}dt={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$$である。したがって $$V={\displaystyle \frac{\pi +2}{3}}$$ である。

高さ $t$ の点を線分の内分表示で表す。切り口は半径 $1-t$ の円板を長さ $2t$ の線分に沿って平行移動した競技場形になるため、長方形と円に分解して面積を積分する。

直線 $L$ 上の点と円板 $D$ 上の点を$$P=(s,0,1)(-1\leqq s\leqq 1),Q=(u,v,0)(u^2+v^2\leqq 1)$$とする。線分 $PQ$ 上で高さ $t$ の点は$$(1-t)Q+tP$$だから、その $xy$ 座標は$$((1-t)u+ts,(1-t)v)\mathrm{.}$$$(1-t)(u,v)$ は半径 $1-t$ の円板を動き、$(ts,0)$ は長さ $2t$ の水平線分を動く。よって $H_t$ は、縦 $2(1-t)$、横 $2t$ の長方形に、半径 $1-t$ の半円2個を付けた形である。

したがって$$S_t=4t(1-t)+\pi (1-t{)}^2\mathrm{.}$$体積は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V}& {\displaystyle ={\int }_0^1{S}_{t}dt}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\int }_0^1\{4t(1-t)+\pi (1-t{)}^2\}dt}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2}{3}}+{\displaystyle \frac{\pi }{3}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{\pi +2}{3}}\mathrm{.}}\end{array}$$