東北大学 1991年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

直線 $l:x+y=1$ 上の点を$$P_n=(u_n,1-u_n)$$とおく。すると$$P_n=(u_n-{\displaystyle \frac{1}{2}})(1,-1)+{\displaystyle \frac{1}{2}}(1,1)$$である。

問題文の条件から、$f$ は$$(1,-1)⟼(\sqrt{2},-\sqrt{2}),(1,1)⟼(\sqrt{2},0)$$と移す。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle P_n^{\mathrm{\prime }}}& {\displaystyle =(u_n-{\displaystyle \frac{1}{2}})(\sqrt{2},-\sqrt{2})+{\displaystyle \frac{1}{2}}(\sqrt{2},0)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(\sqrt{2}{u}_n,{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}-\sqrt{2}{u}_n)\mathrm{.}}\end{array}$$この2座標の和は $\sqrt{2}\mathrm{/}2$ である。

原点と $P_n^{\mathrm{\prime }}$ を結ぶ直線上の点は $\lambda P_n^{\mathrm{\prime }}$ と書ける。これが
$x+y=1$ 上にある条件は$$\lambda {\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}=1$$であるから、$\lambda =\sqrt{2}$ である。よって$$P_{n+1}=\sqrt{2}{P}_n^{\mathrm{\prime }}=(2u_n,1-2u_n),u_{n+1}=2u_n\mathrm{.}$$$u_1=1\mathrm{/}2$ なので$$u_n=2^{n-2}\mathrm{.}$$さらに$$\overrightarrow{P_n{P}_{n+1}}=(u_{n+1}-u_n,-u_{n+1}+u_n)$$であるから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle a_n}& {\displaystyle =\sqrt{2}\mathrm{\mid }{u}_{n+1}-u_n\mathrm{\mid }}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\sqrt{2}{2}^{n-2}\mathrm{.}}\end{array}$$したがって、$\{a_n\}$ は$$a_n={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}^{n-1}$$で表される、初項 $\sqrt{2}\mathrm{/}2$、公比 $2$ の等比数列である。

直線 $l$ の中点 $(1\mathrm{/}2,1\mathrm{/}2)$ から方向 $(1,-1)$ への符号付き座標を $s_n$ とする。変換後に原点から直線へ戻す倍率が常に$\sqrt{2}$ であることを使い、$s_{n+1}=2s_n+1\mathrm{/}2$ を得る。

$$P_n=({\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{1}{2}})+s_n(1,-1)$$とおく。$P_1=(1\mathrm{/}2,1\mathrm{/}2)$ なので $s_1=0$ である。

問題で与えられた2方向の移り方から$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f(P_n)}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{2}}f(1,1)+s_{n}f(1,-1)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =({\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}},0)+s_n(\sqrt{2},-\sqrt{2})\mathrm{.}}\end{array}$$この点の2座標の和は $\sqrt{2}\mathrm{/}2$ である。したがって原点とこの点を結ぶ直線を
$x+y=1$ まで延ばす倍率は $\sqrt{2}$ である。ゆえに$$P_{n+1}=(1,0)+2s_n(1,-1)\mathrm{.}$$これを中点基準で書き直すと$$P_{n+1}=({\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{1}{2}})(2s_n+{\displaystyle \frac{1}{2}})(1,-1),$$したがって$$s_{n+1}=2s_n+{\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{.}$$$r_n=s_n+1\mathrm{/}2$ とおけば$$r_{n+1}=2r_n,r_1={\displaystyle \frac{1}{2}},$$なので $r_n=2^{n-2}$ である。

隣り合う点の符号付き座標の差は$$s_{n+1}-s_n=r_n=2^{n-2}\mathrm{.}$$方向ベクトル $(1,-1)$ の長さは $\sqrt{2}$ だから$$a_n=\sqrt{2}{2}^{n-2}={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}^{n-1}\mathrm{.}$$よって初項 $\sqrt{2}\mathrm{/}2$、公比 $2$ の等比数列である。