東北大学 1990年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第1問

(1)
回転後の座標を $(X,Y)$ とする。図形を原点のまわりに30度だけ回転した後の点 $(X,Y)$ に対応する元の点 $(x,y)$ は、逆に30度戻して $$x={\displaystyle \frac{\sqrt{3}X+Y}{2}},y={\displaystyle \frac{-X+\sqrt{3}Y}{2}}$$ である。これを $7x^2+3y^2-4\sqrt{3}xy=9$ へ代入する。

各項をまとめると $$7x^2+3y^2-4\sqrt{3}xy=9X^2+Y^2$$ であるから、回転後の図形の方程式は $9X^2+Y^2=9$ である。座標名を $(x,y)$ に戻せば $9x^2+y^2=9$ である。

(2)
(1)の結果から、30度回転後の座標 $(X,Y)$ では図形は $$X^2+{\displaystyle \frac{Y^2}{9}}=1$$ である。したがって、まず30度回転後の座標を取り、さらに $Y$ 成分を3分の1にすれば円 $U^2+V^2=1$ に移る。

元の座標 $(x,y)$ に対して $$X={\displaystyle \frac{\sqrt{3}x-y}{2}},Y={\displaystyle \frac{x+\sqrt{3}y}{2}}$$ であるから、候補となる1次変換は $$U=X={\displaystyle \frac{\sqrt{3}x-y}{2}},V={\displaystyle \frac{Y}{3}}={\displaystyle \frac{x+\sqrt{3}y}{6}}$$ である。よって行列は$$A=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}& -{\displaystyle \frac{1}{2}}\\ {\displaystyle \frac{1}{6}}& {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{6}}\end{array}\right)$$である。

条件を確認する。まず$$A\left(\begin{array}{c}\sqrt{3}\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{3}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}\\ {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{6}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{6}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}\end{array}\right)$$である。また$$ad-bc={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{6}}-(-{\displaystyle \frac{1}{2}}){\displaystyle \frac{1}{6}}={\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{12}}={\displaystyle \frac{1}{3}}>0$$である。さらに $$U^2+V^2={\displaystyle \frac{1}{9}}(7x^2+3y^2-4\sqrt{3}xy)$$ なので、図形 $C$ 上では $U^2+V^2=1$ となる。したがって求める行列は$$A=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}& -{\displaystyle \frac{1}{2}}\\ {\displaystyle \frac{1}{6}}& {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{6}}\end{array}\right)$$である。

二次式が簡単になる直交方向を直接見つけ、30度回転した座標で楕円の半軸を読む。楕円を円へ縮める変換を作り、指定点と行列式の条件で向きを確認する。

(1)
30度回転後の座標を $(X,Y)$ とすると、元の座標は$$x={\displaystyle \frac{\sqrt{3}X+Y}{2}},y={\displaystyle \frac{-X+\sqrt{3}Y}{2}}\mathrm{.}$$代入して整理すると$$7x^2+3y^2-4\sqrt{3}xy=9X^2+Y^2\mathrm{.}$$したがって回転後の図形は$$9X^2+Y^2=9.$$(2)
元の点から回転後の座標を得る式は$$X={\displaystyle \frac{\sqrt{3}x-y}{2}},Y={\displaystyle \frac{x+\sqrt{3}y}{2}}\mathrm{.}$$楕円$$X^2+{\displaystyle \frac{Y^2}{9}}=1$$を単位円へ移すには、$X$ はそのまま、$Y$ を $1\mathrm{/}3$ 倍すればよい。したがって$$\left(\begin{array}{c}U\\ V\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}& -{\displaystyle \frac{1}{2}}\\ {\displaystyle \frac{1}{6}}& {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{6}}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)\mathrm{.}$$$(\sqrt{3},1)$ は$$(1,{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}})$$へ移り、行列式は$${\displaystyle \frac{1}{3}}>0.$$よって求める行列は$$A=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}& -{\displaystyle \frac{1}{2}}\\ {\displaystyle \frac{1}{6}}& {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{6}}\end{array}\right)\mathrm{.}$$なお、楕円を単位円へ移す別の正の行列式をもつ変換があれば、上の変換の後に原点中心の回転を施したものになる。指定された非零ベクトル$$(1,{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}})$$を動かさない回転は恒等変換だけなので、この $A$ は一意である。