東北大学 1991年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

(1)
長方形 $R_{\theta }$ は、高さ $0\leqq z\leqq \theta$ にある。したがって、平面 $z=t$ で切ったときに $R_{\theta }$ が断面に現れるための条件は $$t\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$$ である。

また、$R_{\theta }$ は各高さで、原点から $(\cos \theta ,\sin \theta )$ へ向かう長さ1の線分を含む。よって、平面 $z=t$ における切り口は、半径1で、偏角が $$t\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$$ を動く扇形である。

この扇形の中心角は ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}-t$ であるから、切り口の面積は ${\displaystyle \frac{1}{2}}({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-t)$ である。

(2)
(1)で求めた断面積を高さ $t$ について積分すればよい。したがって体積を $V$ とすると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V}& {\displaystyle ={\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}{\displaystyle \frac{1}{2}}({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-t)dt}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{2}}{[{\displaystyle \frac{\pi }{2}}t-{\displaystyle \frac{t^2}{2}}]}_0^{\pi \mathrm{/}2}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{2}}({\displaystyle \frac{{\pi }^2}{4}}-{\displaystyle \frac{{\pi }^2}{8}})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{{\pi }^2}{16}}}\end{array}$$である。よって ${\displaystyle \frac{{\pi }^2}{16}}$ である。

偏角 $\theta$ と $\theta +d\theta$ の間の細い扇形を考える。その底面積は半径1の扇形の面積差で、高さはほぼ $\theta$ である。扇形柱の体積を偏角について足し合わせる。

(1)
高さ $z=t$ に点をもつ長方形は $t\leqq \theta \leqq \pi \mathrm{/}2$ に対応する。
各 $\theta$ について、切り口には原点から偏角 $\theta$ の方向へ伸びる
長さ1の線分が現れる。したがって切り口は中心角$${\displaystyle \frac{\pi }{2}}-t$$の扇形であり、面積は$${\displaystyle \frac{1}{2}}({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-t)$$である。

(2)
$0\leqq \theta \leqq \pi \mathrm{/}2$ を細分する。偏角が
$\theta$ から $\theta +\mathrm{\Delta }\theta$ の細い扇形の底面積は$${\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{\Delta }\theta$$で、その部分の高さは極限で $\theta$ となる。よって体積は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V}& {\displaystyle ={\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}{\displaystyle \frac{\theta }{2}}d\theta }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\left[{\displaystyle \frac{{\theta }^2}{4}}\right]}_0^{\pi \mathrm{/}2}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{{\pi }^2}{16}}\mathrm{.}}\end{array}$$水平断面による計算と同じ値になる。