東北大学 1990年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

(1) $$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$$とする。直接計算すると$$A^2=\left(\begin{array}{cc}{a}^2+bc& b(a+d)\\ c(a+d)& bc+d^2\end{array}\right)$$である。ここで $A^2-(a+d)A+(ad-bc)E$ の各成分を見ると、左上は $a^2+bc-a(a+d)+ad-bc=0$ であり、右上、左下もそれぞれ $0$、右下も $bc+d^2-d(a+d)+ad-bc=0$ となる。したがって $A^2-(a+d)A+(ad-bc)E=O$ である。

いま $A^2-xA+yE=O$ も成り立つので、2式を引くと $$\{x-(a+d)\}A-\{y-(ad-bc)\}E=O$$ となる。もし $x-(a+d)\mathrm{\ne }0$ なら $A$ は単位行列の実数倍になってしまい、仮定に反する。よって $x=a+d$ であり、続いて $y=ad-bc$ である。

(2)
まず $A=kE$ と仮定すると、$A^3+A=O$ から $(k^3+k)E=O$ となる。実数 $k$ について $k^3+k=k(k^2+1)=0$ だから $k=0$ であり、これは $A=O$ となって仮定に反する。したがって $A$ は単位行列の実数倍ではなく、(1)を用いることができる。

(1) より $A^2-xA+yE=O$ ただし $x=a+d$、$y=ad-bc$ である。この式に右から $A$ を掛けると $A^3-x{A}^2+yA=O$ である。$A^3=-A$ を代入して $x{A}^2+(1-y)A=O$ を得る。さらに $A^2=xA-yE$ を用いると $x(xA-yE)+(1-y)A=O$ すなわち $(x^2+1-y)A-xyE=O$ である。$A$ は単位行列の実数倍でないから $x^2+1-y=0,xy=0$ が必要である。ここで $x=0$ なら $y=1$、また $y=0$ なら $x^2+1=0$ となり実数では不可能である。よって $x=0,y=1$ である。したがって $A^2+E=O$ すなわち $A^2=-E$ である。よって $A(-A)=(-A)A=E$ となるから、$A$ は逆行列をもち $A^{-1}=-A$ である。

(1) は2次正方行列の各成分を直接比較する。(2) はまず行列式が0だと仮定し、(1)の恒等式から $A=O$ が導かれることを示す。これで逆行列の存在を確定してから、与式を因数分解する。

(1)
直接計算により$$A^2-(a+d)A+(ad-bc)E=O$$が成り立つ。これと$$A^2-xA+yE=O$$との差を取ると$$\{x-(a+d)\}A-\{y-(ad-bc)\}E=O\mathrm{.}$$$A\mathrm{\ne }kE$ だから $A,E$ は実数係数について比例せず、$$x=a+d,y=ad-bc\mathrm{.}$$(2)
$A^3+A=O$ を満たす $A\mathrm{\ne }O$ を考える。もし$$\det A=ad-bc=0$$なら、(1)の恒等式から$$A^2=(a+d)A\mathrm{.}$$よって $A^3=(a+d{)}^{2}A$ であり、与式は$$\{(a+d{)}^2+1\}A=O$$となる。係数は正なので $A=O$ となり矛盾する。したがって $\det A\mathrm{\ne }0$ で、$A$ は逆行列をもつ。

ここで$$A(A^2+E)=O$$の左から $A^{-1}$ を掛けると$$A^2+E=O\mathrm{.}$$ゆえに$$A(-A)=(-A)A=E$$であり、$$A^{-1}=-A\mathrm{.}$$