東北大学 1992年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第2問

変換後の点を $X=ax+by,Y=cx+dy$ とおく。

まず，円 $x^2+y^2=1$ が円 $X^2+Y^2=2$ に送られる。したがって，$x^2+y^2=1$ の上で $X^2+Y^2=2$ が成り立つ。展開すると $$X^2+Y^2=(a^2+c^2)x^2+2(ab+cd)xy+(b^2+d^2)y^2$$ である。これが $2(x^2+y^2)$ に等しいので $$a^2+c^2=2,b^2+d^2=2,ab+cd=0$$ を得る。

次に，$xy=1$ の点が $X^2-Y^2=4$ を満たす条件を調べる。展開すると $$X^2-Y^2=(a^2-c^2)x^2+2(ab-cd)xy+(b^2-d^2)y^2$$ である。$xy=1$ だから $y=1\mathrm{/}x$ とおくと $$X^2-Y^2=(a^2-c^2)x^2+2(ab-cd)+{\displaystyle \frac{b^2-d^2}{x^2}}$$ である。これがすべての $x\mathrm{\ne }0$ で4に等しいためには $$a^2-c^2=0,b^2-d^2=0,2(ab-cd)=4$$ でなければならない。すなわち $$a^2=c^2,b^2=d^2,ab-cd=2$$ である。

これを先の円の条件と合わせる。$a^2+c^2=2$ かつ $a^2=c^2$ より $a^2=c^2=1$ である。同様に $b^2=d^2=1$ である。したがって $ab$ と $cd$ はそれぞれ $1$ または $-1$ である。条件 $ab-cd=2$ が成り立つには $ab=1,cd=-1$ でなければならない。

よって $b=a$，$d=-c$ であり，$a,c$ はそれぞれ $\pm 1$ をとる。求める行列は$$\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ -1& 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}-1& -1\\ 1& -1\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}-1& -1\\ -1& 1\end{array}\right)$$である。

円の像の条件を、変換行列の2本の列ベクトルが「長さ $\sqrt{2}$、互いに直角」であることとして読む。
第2列を第1列の90度回転で表し、双曲線の条件から符号を決める。

変換後の座標を$$X=ax+by,Y=cx+dy$$とする。単位円が半径 $\sqrt{2}$ の円へ移るため、2本の列ベクトル$$\mathit{u}=(a,c),\mathit{v}=(b,d)$$はともに長さ $\sqrt{2}$ で直交する。したがって、ある
$\epsilon \in \{1,-1\}$ によって$$(b,d)=\epsilon (-c,a)$$と書ける。

この表示を用いると$$X=ax-\epsilon cy,Y=cx+\epsilon ay\mathrm{.}$$よって$$X^2-Y^2=(a^2-c^2)(x^2-y^2)-4\epsilon acxy\mathrm{.}$$$xy=1$ 上でこれがつねに4となるには$$a^2-c^2=0,-4\epsilon ac=4$$が必要十分である。また $a^2+c^2=2$ だから$$a^2=c^2=1.$$さらに $\epsilon ac=-1$ であり、これを $$b=-\epsilon c,d=\epsilon a$$ に戻すと$$b=a,d=-c\mathrm{.}$$$a,c$ をそれぞれ $\pm 1$ として$$\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ -1& 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}-1& -1\\ 1& -1\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}-1& -1\\ -1& 1\end{array}\right)$$を得る。各行列は円と双曲線の両方を指定された図形へ移す。