東北大学 1991年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第6問

(1)
直線 $l:x+y=1$ 上の点 $P_n$ を $P_n=(u_n,1-u_n)$ とおく。この点は $$(u_n,1-u_n)=(u_n-{\displaystyle \frac{1}{2}})(1,-1)+{\displaystyle \frac{1}{2}}(1,1)$$ と表せる。

1次変換 $f$ は $(1,-1)\mapsto (\sqrt{2},-\sqrt{2})$ かつ $(1,1)\mapsto (2a-\sqrt{2},2\sqrt{2}-2a)$ である。したがって $P_n$ を移した点 $P_n^{\mathrm{\prime }}$ は$$P_n^{\mathrm{\prime }}=(u_n-{\displaystyle \frac{1}{2}})(\sqrt{2},-\sqrt{2})+{\displaystyle \frac{1}{2}}(2a-\sqrt{2},2\sqrt{2}-2a)$$である。整理すると $$P_n^{\mathrm{\prime }}=(\sqrt{2}{u}_n+a-\sqrt{2},-\sqrt{2}{u}_n+{\displaystyle \frac{3\sqrt{2}}{2}}-a)$$ である。この2座標の和は ${\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$ である。

原点と $P_n^{\mathrm{\prime }}$ を通る直線上の点は、ある倍率 $\lambda$ を用いて $\lambda P_n^{\mathrm{\prime }}$ と表される。これが $x+y=1$ 上にあるためには $$\lambda \cdot {\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}=1$$ であるから $\lambda =\sqrt{2}$ である。したがって $P_{n+1}=\sqrt{2}{P}_n^{\mathrm{\prime }}$ であり、特に $u_{n+1}=2u_n+\sqrt{2}a-2$ を得る。

この漸化式の固定点を $L$ とすると $L=2L+\sqrt{2}a-2$ だから $L=2-\sqrt{2}a$ である。よって $u_{n+1}-L=2(u_n-L)$ である。$u_1=1\mathrm{/}2$ なので$$u_n-L=2^{n-1}({\displaystyle \frac{1}{2}}-L)=2^{n-1}(\sqrt{2}a-{\displaystyle \frac{3}{2}})$$である。

また $u_{n+1}-u_n=u_n-L$ だから$$\mathrm{\mid }\overrightarrow{P_n{P}_{n+1}}\mathrm{\mid }=\sqrt{2}\mathrm{\mid }{u}_{n+1}-u_n\mathrm{\mid }=\sqrt{2}{2}^{n-1}\mid \sqrt{2}a-{\displaystyle \frac{3}{2}}\mid$$である。よって$$\mathrm{\mid }\overrightarrow{P_n{P}_{n+1}}\mathrm{\mid }=\sqrt{2}{2}^{n-1}\mid \sqrt{2}a-{\displaystyle \frac{3}{2}}\mid$$である。

(2) $$\mathrm{\mid }\overrightarrow{P_1{P}_8}\mathrm{\mid }=\sqrt{2}\mathrm{\mid }{u}_8-u_1\mathrm{\mid }$$ である。上で得た式から $$u_8-u_1=(u_8-L)-(u_1-L)=(2^7-1)(\sqrt{2}a-{\displaystyle \frac{3}{2}})$$ なので $$\mathrm{\mid }\overrightarrow{P_1{P}_8}\mathrm{\mid }=127\sqrt{2}\mid \sqrt{2}a-{\displaystyle \frac{3}{2}}\mid$$ である。これが ${\displaystyle \frac{635}{\sqrt{2}}}$ に等しいから $$127\sqrt{2}\mid \sqrt{2}a-{\displaystyle \frac{3}{2}}\mid ={\displaystyle \frac{635}{\sqrt{2}}}$$ である。したがって $$\mid \sqrt{2}a-{\displaystyle \frac{3}{2}}\mid ={\displaystyle \frac{5}{2}}$$ である。

よって $$\sqrt{2}a-{\displaystyle \frac{3}{2}}={\displaystyle \frac{5}{2}}$$ または $$\sqrt{2}a-{\displaystyle \frac{3}{2}}=-{\displaystyle \frac{5}{2}}$$ である。これを解いて $$a=2\sqrt{2},a=-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$$ を得る。

$P_n$ の第1座標を $u_n$ とする。変換と原点からの射影を1回まとめて漸化式を作り、その固定点からのずれが毎回2倍になることを利用する。$P_1{P}_8$ はずれの差として一度に計算する。

(1) $$P_n=(u_n,1-u_n)$$とおく。2つの与えられた方向へ分解して $f(P_n)$ を求め、原点から
$x+y=1$ へ戻すと$$u_{n+1}=2u_n+\sqrt{2}a-2.$$この変換の固定点は$$L=2-\sqrt{2}a$$であるから$$u_{n+1}-L=2(u_n-L)\mathrm{.}$$$u_1=1\mathrm{/}2$ より$$u_n-L=2^{n-1}(\sqrt{2}a-{\displaystyle \frac{3}{2}})\mathrm{.}$$また $u_{n+1}-u_n=u_n-L$ なので$$\mathrm{\mid }\overrightarrow{P_n{P}_{n+1}}\mathrm{\mid }=\sqrt{2}{2}^{n-1}\mid \sqrt{2}a-{\displaystyle \frac{3}{2}}\mid \mathrm{.}$$(2)$$u_8-u_1=(2^7-1)(\sqrt{2}a-{\displaystyle \frac{3}{2}})$$である。したがって条件は$$127\sqrt{2}\mid \sqrt{2}a-{\displaystyle \frac{3}{2}}\mid ={\displaystyle \frac{635}{\sqrt{2}}}\mathrm{.}$$よって$$\mid \sqrt{2}a-{\displaystyle \frac{3}{2}}\mid ={\displaystyle \frac{5}{2}}$$となり、$$a=2\sqrt{2}$$または$$a=-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}\mathrm{.}$$