東北大学 1991年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

(1) $$u={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}}}$$とおく。$0<x<1$ より $u>1$ であり、$$\log x=-2\log u,2(1-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}}})=2(1-u)\mathrm{.}$$したがって、示すべき不等式は$$\log u<u-1$$と同値である。$H(u)=u-1-\log u$ とおけば$$H^{\mathrm{\prime }}(u)=1-{\displaystyle \frac{1}{u}}>0(u>1),$$かつ $H(1)=0$ である。よって $H(u)>0$ となり、求める不等式が成り立つ。

(2) $$h(x)=x(\log x-1)(x>0)$$とおくと$$h^{\mathrm{\prime }}(x)=\log x,h^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}>0.$$したがって $0<x<1$ では減少し、$x>1$ では増加して、$$h(1)=-1$$が最小値である。また $h(e)=0$ であり、$$\underset{x\to 0+}{\lim }h(x)=0$$である。ゆえに曲線は原点へ下側から近づき、$(1,-1)$ で最小となり、
$(e,0)$ で $x$ 軸と交わる。

(3)
$0<b<1$ のとき、囲まれる領域は$$b\leqq x\leqq e,h(x)\leqq y\leqq 0$$である。各 $y\in [-1,0]$ に対し、曲線の左枝と右枝の $x$ 座標を
$x_{-}(y),x_{+}(y)$ とする。水平断面を $y$ 軸のまわりに回すと円板または円環になるから、$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\displaystyle \frac{V(b)}{\pi }}}& {\displaystyle ={\int }_{-1}^{h(b)}\{x_{+}(y{)}^2-x_{-}(y{)}^2\}dy}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle +{\int }_{h(b)}^0\{x_{+}(y{)}^2-b^2\}dy\mathrm{.}}\end{array}$$曲線上では $dy=h^{\mathrm{\prime }}(x)dx=\log xdx$ なので、$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\displaystyle \frac{V(b)}{\pi }}}& {\displaystyle ={\int }_1^e{x}^2\log xdx-{\int }_1^b{x}^2\log xdx-b^2\{0-h(b)\}\mathrm{.}}\end{array}$$ここで$$\int x^2\log xdx={\displaystyle \frac{x^3}{3}}\log x-{\displaystyle \frac{x^3}{9}}\mathrm{.}$$また $$b^{2}h(b)=b^3(\log b-1)\to 0$$ である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \underset{b\to 0+}{\lim }{\displaystyle \frac{V(b)}{\pi }}}& {\displaystyle =({\displaystyle \frac{2e^3}{9}}+{\displaystyle \frac{1}{9}})-{\displaystyle \frac{1}{9}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2e^3}{9}}\mathrm{.}}\end{array}$$ゆえに$$\underset{b\to 0+}{\lim }V(b)={\displaystyle \frac{2\pi e^3}{9}}\mathrm{.}$$

水平断面の円板・円環の体積を、曲線の左右2枝に沿う積分として書く。部分積分を用いると、逆関数を消して $x$ の定積分へまとめられる。端の小さな穴が極限で消えることも確認する。

(1) $$H(u)=u-1-\log u$$とおけば $u>1$ で $H^{\mathrm{\prime }}(u)>0$、$H(1)=0$ である。ここへ$$u=1\mathrm{/}\sqrt{x}$$ を入れると (1) の不等式を得る。

(2)
また $h(x)=x(\log x-1)$ は$$h^{\mathrm{\prime }}(x)=\log x$$より $(0,1)$ で減少、$(1,\mathrm{\infty })$ で増加する。最小点は
$(1,-1)$、$x$ 軸との交点は $(e,0)$、$x\to 0+$ では下側から
原点へ近づく。

(3)
水平断面の円板法で体積を表し、左右の枝に沿って部分積分すると$${\displaystyle \frac{V(b)}{\pi }}=2{\int }_b^{e}x\{-h(x)\}dx$$を得る。この式は円板・円環の面積
$\pi (R^2-r^2)$ を $y$ について積分し、$$\int x^{2}dy=x^{2}y-\int 2xydx$$ としたものであり、円板法そのものである。

したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V(b)}& {\displaystyle =2\pi {\int }_b^e{x}^2(1-\log x)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2\pi {\left[x^3({\displaystyle \frac{4}{9}}-{\displaystyle \frac{1}{3}}\log x)\right]}_b^e\mathrm{.}}\end{array}$$$$\underset{b\to 0+}{\lim }{b}^3\log b=0$$であるから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \underset{b\to 0+}{\lim }V(b)}& {\displaystyle =2\pi e^3({\displaystyle \frac{4}{9}}-{\displaystyle \frac{1}{3}})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2\pi e^3}{9}}\mathrm{.}}\end{array}$$