東北大学 1993年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

(1) $n\geqq 2$ とする。$a_n$ と $a_{n-1}$ の積の形を比べると、多くの因子が打ち消し合う。具体的には、$a_n$ の分子には新しく $(n-1{)}^3$ が入り、分母には新しく $n^3-1$ が入る。したがって $${\displaystyle \frac{a_n}{a_{n-1}}}={\displaystyle \frac{(n-1{)}^3}{n^3-1}}$$ であり、$$a_n={\displaystyle \frac{(n-1{)}^3}{n^3-1}}{a}_{n-1}$$ である。

(2)

まず $a_1=1,S_1=1$ なので $${\displaystyle \frac{S_1}{a_1}}=1$$ である。

(1) より $$a_2={\displaystyle \frac{1^3}{2^3-1}}{a}_1={\displaystyle \frac{1}{7}}$$ であるから $S_2=1+{\displaystyle \frac{1}{7}}={\displaystyle \frac{8}{7}}$ となり、$${\displaystyle \frac{S_2}{a_2}}={\displaystyle \frac{8\mathrm{/}7}{1\mathrm{/}7}}=8$$ である。

さらに $$a_3={\displaystyle \frac{2^3}{3^3-1}}{a}_2={\displaystyle \frac{8}{26}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{7}}={\displaystyle \frac{4}{91}}$$ である。よって $$S_3=1+{\displaystyle \frac{1}{7}}+{\displaystyle \frac{4}{91}}={\displaystyle \frac{91+13+4}{91}}={\displaystyle \frac{108}{91}}$$ となるから $${\displaystyle \frac{S_3}{a_3}}={\displaystyle \frac{108\mathrm{/}91}{4\mathrm{/}91}}=27$$ である。

したがって$${\displaystyle \frac{S_1}{a_1}}=1^3,{\displaystyle \frac{S_2}{a_2}}=2^3,{\displaystyle \frac{S_3}{a_3}}=3^3$$である。

(3)

(2) から $${\displaystyle \frac{S_n}{a_n}}=n^3$$ と予想できる。これを数学的帰納法で証明する。 $n=1$ では $S_1\mathrm{/}{a}_1=1=1^3$ で成り立つ。ある $n-1\geqq 1$ で $${\displaystyle \frac{S_{n-1}}{a_{n-1}}}=(n-1{)}^3$$ が成り立つと仮定する。このとき $S_n=S_{n-1}+a_n$ であるから$${\displaystyle \frac{S_n}{a_n}}={\displaystyle \frac{S_{n-1}}{a_n}}+1={\displaystyle \frac{S_{n-1}}{a_{n-1}}}\cdot {\displaystyle \frac{a_{n-1}}{a_n}}+1$$である。

(1) より $${\displaystyle \frac{a_{n-1}}{a_n}}={\displaystyle \frac{n^3-1}{(n-1{)}^3}}$$ なので、帰納法の仮定を代入して $${\displaystyle \frac{S_n}{a_n}}=(n-1{)}^3\cdot {\displaystyle \frac{n^3-1}{(n-1{)}^3}}+1=n^3$$ となる。よってすべての自然数 $n$ について $${\displaystyle \frac{S_n}{a_n}}=n^3$$ が成り立つ。

(1) の漸化式を $(n^3-1)a_n=(n-1{)}^3{a}_{n-1}$ と書き換える。すると $n^3{a}_n-(n-1{)}^3{a}_{n-1}=a_n$ という差分になるので、これを $2$ から $n$ まで加えて直接 $n^3{a}_n=S_n$ を得る。

(1)

定義された積で $a_n\mathrm{/}{a}_{n-1}$ を作ると共通因子が消え、$${\displaystyle \frac{a_n}{a_{n-1}}}={\displaystyle \frac{(n-1{)}^3}{n^3-1}}\mathrm{.}$$したがって$$a_n={\displaystyle \frac{(n-1{)}^3}{n^3-1}}{a}_{n-1}(n\geqq 2)\mathrm{.}$$(2)$$a_1=1,a_2={\displaystyle \frac{1}{7}},a_3={\displaystyle \frac{4}{91}}$$だから$$S_1=1,S_2={\displaystyle \frac{8}{7}},S_3={\displaystyle \frac{108}{91}}\mathrm{.}$$よって$${\displaystyle \frac{S_1}{a_1}}=1,{\displaystyle \frac{S_2}{a_2}}=8,{\displaystyle \frac{S_3}{a_3}}=27.$$(3)

(1) の式を$$(n^3-1)a_n=(n-1{)}^3{a}_{n-1}$$と書き換えると$$n^3{a}_n-(n-1{)}^3{a}_{n-1}=a_n\mathrm{.}$$これを $n=2,3,\dots ,N$ について加えると、左辺は差が消えて$$N^3{a}_N-a_1=a_2+a_3+\cdots +a_N\mathrm{.}$$$a_1=1$ なので$$N^3{a}_N=a_1+a_2+\cdots +a_N=S_N\mathrm{.}$$したがってすべての自然数 $N$ について$${\displaystyle \frac{S_N}{a_N}}=N^3\mathrm{.}$$これは (2) の $1,8,27$ からの予想と一致する。