東北大学 1994年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第4問

(1)

定義式に $n$ を掛けると、$n\geqq 2$ で $$n{a}_n=n(n+1)+\sum _{k=1}^{n-1}(k+2)a_k$$ である。また、$n-1$ に対する式に $n-1$ を掛けると $$(n-1)a_{n-1}=n(n-1)+\sum _{k=1}^{n-2}(k+2)a_k$$ である。

上の式から下の式を引くと $$n{a}_n-(n-1)a_{n-1}=2n+(n+1)a_{n-1}$$ である。したがって $n{a}_n=2n{a}_{n-1}+2n$ となり、$n\geqq 2$ だから $a_n=2a_{n-1}+2$ である。

(2)

(1) の式を $a_n+2=2(a_{n-1}+2)$ と書く。初期値 $a_1=2$ より $a_1+2=4$ であるから $$a_n+2=4\cdot 2^{n-1}=2^{n+1}$$ である。したがって $a_n=2^{n+1}-2$ である。

隣接項の差を取らず、予想される閉じた式を元の和へ直接代入して帰納法で証明する。和の計算が定義式をちょうど満たすことを示す。

(1)
$n$ の式を $n$ 倍したものと、$n-1$ の式を $n-1$ 倍したものを
引くと$$n{a}_n-(n-1)a_{n-1}=2n+(n+1)a_{n-1}\mathrm{.}$$したがって$$a_n=2a_{n-1}+2.$$(2)$$a_n=2^{n+1}-2$$を元の定義から帰納法で示す。$n=1$ では成り立つ。$k<n$ で成り立つとき$$\sum _{k=1}^{n-1}(k+2)a_k=\sum _{k=1}^{n-1}(k+2)(2^{k+1}-2)=n{2}^{n+1}-n^2-3n\mathrm{.}$$よって定義式の右辺は$$n+1+{\displaystyle \frac{1}{n}}(n{2}^{n+1}-n^2-3n)=2^{n+1}-2.$$したがってすべての $n\geqq 1$ で$$a_n=2^{n+1}-2$$である。