東北大学 1993年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第1問

(1) $$s_n=\sum _{k=1}^n(-1{)}^k{\displaystyle \frac{1}{k!}}$$である。2項ずつまとめると$$-{\displaystyle \frac{1}{(2m-1)!}}+{\displaystyle \frac{1}{(2m)!}}=-{\displaystyle \frac{2m}{(2m)!}}+{\displaystyle \frac{1}{(2m)!}}=-{\displaystyle \frac{2m-1}{(2m)!}}<0$$である。したがって、偶数番目までで区切った各組はすべて負である。 $n$ が偶数なら $s_n$ はこのような負の組の和であるから $s_n<0$ である。$n$ が奇数なら、最後に $-{\displaystyle \frac{1}{n!}}<0$ がさらに残るので、やはり $s_n<0$ である。よって任意の $n$ について $s_n<0$ が成り立つ。

(2) $$b_k={\displaystyle \frac{1}{k(k+1)}}={\displaystyle \frac{1}{k}}-{\displaystyle \frac{1}{k+1}}$$ である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle t_n}& {\displaystyle =\sum _{k=1}^n({\displaystyle \frac{1}{k}}-{\displaystyle \frac{1}{k+1}})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =1-{\displaystyle \frac{1}{n+1}}}\end{array}$$である。よって $t_n=1-{\displaystyle \frac{1}{n+1}}<1$ である。

(3)

まず $k!\geqq 2^{k-1}$ を用いる。これは $k=1$ で成り立ち、$k\geqq 1$ から $$(k+1)!=(k+1)k!\geqq 2k!\geqq 2\cdot 2^{k-1}=2^k$$ となるので、帰納法で成り立つ。

したがって $$a_k={\displaystyle \frac{1}{k!}}\leqq {\displaystyle \frac{1}{2^{k-1}}}$$ である。よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle u_n}& {\displaystyle =\sum _{k=1}^n{\displaystyle \frac{1}{k!}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle \leqq \sum _{k=1}^n{\displaystyle \frac{1}{2^{k-1}}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =1+{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{2^2}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{2^{n-1}}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2-{\displaystyle \frac{1}{2^{n-1}}}<2}\end{array}$$である。したがって任意の $n$ について $u_n<2$ が成り立つ。

(1) は負の項を捨てて偶数項だけで上から評価し、階乗を2の累乗で押さえる。(2)は $t_n=n\mathrm{/}(n+1)$ を帰納法で示す。(3)は $k!\geqq 2\cdot 3^{k-2}(k\geqq 2)$ を用い、公比 $1\mathrm{/}3$ の等比和で2より小さく評価する。

(1)

負の奇数番目の項を除けば和は大きくなるので$$s_n\leqq -1+\sum _{\begin{array}{c}2\leqq k\leqq n\\ k\text{ は偶数}\end{array}}{\displaystyle \frac{1}{k!}}\mathrm{.}$$$(2j)!\geqq 2^j$ だから$$\sum _{\begin{array}{c}2\leqq k\leqq n\\ k\text{ は偶数}\end{array}}{\displaystyle \frac{1}{k!}}\leqq \sum _{j=1}^{\lfloor n\mathrm{/}2\rfloor }{\displaystyle \frac{1}{2^j}}<1.$$よって $s_n<0$ である。

(2) $$t_n={\displaystyle \frac{n}{n+1}}$$を帰納法で示す。$n=1$ では $t_1=1\mathrm{/}2$ で正しい。これが $n$ で成り立つとき$$t_{n+1}={\displaystyle \frac{n}{n+1}}+{\displaystyle \frac{1}{(n+1)(n+2)}}={\displaystyle \frac{n+1}{n+2}}\mathrm{.}$$よって任意の $n$ で$$t_n={\displaystyle \frac{n}{n+1}}<1.$$(3)

$k\geqq 2$ について$$k!\geqq 2\cdot 3^{k-2}$$が成り立つ。$k=2$ では等号であり、次の因子 $k+1\geqq 3$ を掛ければ帰納できる。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle u_n}& {\displaystyle =1+\sum _{k=2}^n{\displaystyle \frac{1}{k!}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle \leqq 1+{\displaystyle \frac{1}{2}}\sum _{j=0}^{n-2}{\displaystyle \frac{1}{3^j}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle <1+{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{1-1\mathrm{/}3}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{7}{4}}<2.}\end{array}$$よって $u_n<2$ である。