東北大学 1994年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

(1)

定義より、$n\geqq 3$ では $$f_n(x)=3x^2+4x{\int }_0^1{f}_{n-1}(t)dt-{\int }_0^1{f}_{n-2}(t)dt$$ である。ここで $$a_n={\int }_0^1{f}_{n-1}(t)dt$$ だから、$n\geqq 2$ について $$f_n(x)=3x^2+4a_{n}x-a_{n-1}$$ と書ける。実際、$n=2$ でも $$a_2={\int }_0^1{f}_1(t)dt=1$$、$a_1=0$ より $f_2(x)=3x^2+4x$ となり一致する。

この式を $0$ から $1$ まで積分すると $$a_{n+1}={\int }_0^1{f}_n(x)dx={\int }_0^1(3x^2+4a_{n}x-a_{n-1})dx$$ である。したがって $a_{n+1}=1+2a_n-a_{n-1}$ である。添字を1つ下げれば、$n\geqq 3$ に対して $a_n=1+2a_{n-1}-a_{n-2}$ である。

(2)

まず $$a_1=0,a_2={\int }_0^1{f}_1(t)dt={\int }_0^{1}3t^{2}dt=1$$ である。(1)の漸化式を $$a_{n+1}-a_n=(a_n-a_{n-1})+1$$ と書く。ここで $d_n=a_{n+1}-a_n$ とおくと $d_n=d_{n-1}+1$ であり、$d_1=a_2-a_1=1$ だから $d_n=n$ である。したがって $$a_n=a_1+\sum _{k=1}^{n-1}{d}_k=\sum _{k=1}^{n-1}k={\displaystyle \frac{n(n-1)}{2}}$$ である。

よって $$f_n(x)=3x^2+4a_{n}x-a_{n-1}$$ に代入して $$f_n(x)=3x^2+2n(n-1)x-{\displaystyle \frac{(n-1)(n-2)}{2}}$$ を得る。$n=1$ でも右辺は $3x^2$ となるので、すべての $n\geqq 1$ について $$f_n(x)=3x^2+2n(n-1)x-{\displaystyle \frac{(n-1)(n-2)}{2}}$$ である。

得られる2階漸化式の特解を先に見抜き、差を取らずに同次化する。初期値がともに0になることから数列を一意に決め、関数列へ戻す。

(1)
定義から$$f_n(x)=3x^2+4a_{n}x-a_{n-1}$$である。両辺を $0$ から $1$ まで積分すれば$$a_{n+1}=1+2a_n-a_{n-1},$$したがって$$a_n=1+2a_{n-1}-a_{n-2}(n\geqq 3)\mathrm{.}$$(2)
この漸化式の特解として$$p_n={\displaystyle \frac{n(n-1)}{2}}$$を取れる。$b_n=a_n-p_n$ とおくと$$b_{n+1}=2b_n-b_{n-1}\mathrm{.}$$一方、$a_1=0,a_2=1$ であり、$p_1=0,p_2=1$ だから
$b_1=b_2=0$ である。よって帰納的に $b_n=0$、すなわち$$a_n={\displaystyle \frac{n(n-1)}{2}}\mathrm{.}$$これを $$f_n(x)=3x^2+4a_{n}x-a_{n-1}$$ へ代入して$$f_n(x)=3x^2+2n(n-1)x-{\displaystyle \frac{(n-1)(n-2)}{2}}$$を得る。