東北大学 1992年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第3問

$A$ は第1象限，$B$ は第4象限にあり，どちらも単位ベクトルである。また，$x$ 軸とのなす角がともに $\alpha$ であるから$$\overrightarrow{OA}=(\cos \alpha ,\sin \alpha ),\overrightarrow{OB}=(\cos \alpha ,-\sin \alpha )$$とおける。ただし $0<\alpha <\pi \mathrm{/}2$ である。 $$\overrightarrow{OP}=\cos \theta \overrightarrow{OA}+\sin \theta \overrightarrow{OB}$$ より，点 $P$ の座標を $(x,y)$ とすると$$x=\cos \alpha (\cos \theta +\sin \theta ),y=\sin \alpha (\cos \theta -\sin \theta )$$である。

ここで $$(\cos \theta +\sin \theta {)}^2+(\cos \theta -\sin \theta {)}^2=2$$ である。したがって$${\left({\displaystyle \frac{x}{\cos \alpha }}\right)}^2+{\left({\displaystyle \frac{y}{\sin \alpha }}\right)}^2=2$$となる。よって $${\displaystyle \frac{x^2}{2{\cos }^2\alpha }}+{\displaystyle \frac{y^2}{2{\sin }^2\alpha }}=1$$ である。

逆に，$\theta$ が $0$ から $2\pi$ まで動くと，$(\cos \theta +\sin \theta ,\cos \theta -\sin \theta )$ は円 $u^2+v^2=2$ を一周する。したがって上の式で表される図形全体が得られる。求める図形は，原点を中心とし，座標軸に平行な楕円である。

和積公式で $\cos \theta \pm \sin \theta$ を45度ずらした余弦に直す。
楕円の標準的な媒介表示を直接読み取り、$\theta$ が一周することから図形全体が得られると確認する。

$$\overrightarrow{OA}=(\cos \alpha ,\sin \alpha ),\overrightarrow{OB}=(\cos \alpha ,-\sin \alpha )$$だから、$P=(x,y)$ とすると$$x=\cos \alpha (\cos \theta +\sin \theta ),y=\sin \alpha (\cos \theta -\sin \theta )\mathrm{.}$$和積公式より$$x=\sqrt{2}\cos \alpha \cos (\theta -{\displaystyle \frac{\pi }{4}}),$$$$y=\sqrt{2}\sin \alpha \cos (\theta +{\displaystyle \frac{\pi }{4}})=-\sqrt{2}\sin \alpha \sin (\theta -{\displaystyle \frac{\pi }{4}})\mathrm{.}$$$$\varphi =\theta -{\displaystyle \frac{\pi }{4}}$$ とおけば$${\displaystyle \frac{x}{\sqrt{2}\cos \alpha }}=\cos \varphi ,{\displaystyle \frac{y}{\sqrt{2}\sin \alpha }}=-\sin \varphi \mathrm{.}$$二乗して加えると$${\displaystyle \frac{x^2}{2{\cos }^2\alpha }}+{\displaystyle \frac{y^2}{2{\sin }^2\alpha }}=1.$$$$0<\alpha <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$$ なので両半径は正である。また $\theta$ が長さ $2\pi$ の区間を動くと
$\varphi$ も一周し、楕円上のすべての点をちょうどたどる。したがって求める図形は、
原点を中心とし座標軸を軸とする上の楕円である。