東北大学 1992年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第5問

(1)
曲線を $y=y(x)$ と見る。点 $P(x,y)$ における接線の傾きを $y^{\mathrm{\prime }}$ とする。このとき法線が $x$ 軸と交わる点を $Q$ とすると，法線の傾きは $-1\mathrm{/}{y}^{\mathrm{\prime }}$ であるから $Q=(x+y{y}^{\mathrm{\prime }},0)$ である。なお $y^{\mathrm{\prime }}=0$ の場合も，法線は垂直線となり，同じ式で $Q=(x,0)$ を与える。

したがって線分 $PQ$ の中点 $M$ は $$M=(x+{\displaystyle \frac{y{y}^{\mathrm{\prime }}}{2}},{\displaystyle \frac{y}{2}})$$ である。この点が常に放物線 $x=4y^2+1$ の上にあるので $$x+{\displaystyle \frac{y{y}^{\mathrm{\prime }}}{2}}=4{\left({\displaystyle \frac{y}{2}}\right)}^2+1=y^2+1$$ である。よって $y{y}^{\mathrm{\prime }}=2(y^2+1-x)$ を得る。

ここで $y=e^{2x}f(x)$ だから $$y^{\mathrm{\prime }}=e^{2x}\{2f(x)+f^{\mathrm{\prime }}(x)\}$$ である。したがって $$y{y}^{\mathrm{\prime }}=e^{4x}f(x)\{2f(x)+f^{\mathrm{\prime }}(x)\}=2e^{4x}f(x{)}^2+e^{4x}f(x)f^{\mathrm{\prime }}(x)$$ であり，また $y^2=e^{4x}f(x{)}^2$ である。これらを $y{y}^{\mathrm{\prime }}=2(y^2+1-x)$ に代入すると $$2e^{4x}f(x{)}^2+e^{4x}f(x)f^{\mathrm{\prime }}(x)=2e^{4x}f(x{)}^2+2(1-x)$$ となる。両辺の $2e^{4x}f(x{)}^2$ を消して $f(x)f^{\mathrm{\prime }}(x)=2(1-x)e^{-4x}$ を得る。

(2)
(1)の式から $$(f(x{)}^2{)}^{\mathrm{\prime }}=2f(x)f^{\mathrm{\prime }}(x)=4(1-x)e^{-4x}$$ である。ここで$${\displaystyle \frac{d}{dx}}\left\{(x-{\displaystyle \frac{3}{4}})e^{-4x}\right\}=e^{-4x}-4(x-{\displaystyle \frac{3}{4}})e^{-4x}=4(1-x)e^{-4x}$$であるから $$f(x{)}^2=(x-{\displaystyle \frac{3}{4}})e^{-4x}+C$$ と書ける。

曲線が $(1,1\mathrm{/}2)$ を通るので ${\displaystyle \frac{1}{2}}=e^{2}f(1)$ であり，$f(1{)}^2={\displaystyle \frac{1}{4e^4}}$ である。一方，$$f(1{)}^2=(1-{\displaystyle \frac{3}{4}})e^{-4}+C={\displaystyle \frac{1}{4e^4}}+C$$ だから $C=0$ である。したがって $$f(x{)}^2=(x-{\displaystyle \frac{3}{4}})e^{-4x}$$ である。

もとの曲線は $y=e^{2x}f(x)$ なので $$y^2=e^{4x}f(x{)}^2=x-{\displaystyle \frac{3}{4}}$$ である。曲線は第1象限内にあるから $y>0$ であり，求める曲線は $$y=\sqrt{x-{\displaystyle \frac{3}{4}}}(x>{\displaystyle \frac{3}{4}})$$ である。

まず $u=y^2$ とおき、中点条件から $u$ の1次微分方程式を直接作る。
初期条件で曲線を決めた後、$y=e^{2x}f(x)$ へ戻して $f$ の式とも照合する。

点 $P(x,y)$ における接線の傾きを $y^{\mathrm{\prime }}$ とする。
法線と $x$ 軸の交点は$$Q=(x+y{y}^{\mathrm{\prime }},0)$$だから、中点は$$M=(x+{\displaystyle \frac{y{y}^{\mathrm{\prime }}}{2}},{\displaystyle \frac{y}{2}})\mathrm{.}$$これが $X=4Y^2+1$ 上にあることから$$x+{\displaystyle \frac{y{y}^{\mathrm{\prime }}}{2}}=y^2+1,y{y}^{\mathrm{\prime }}=2(y^2+1-x)\mathrm{.}$$(1)

$y=e^{2x}f(x)$ と $y^{\mathrm{\prime }}=e^{2x}(2f+f^{\mathrm{\prime }})$ を代入すると$$e^{4x}f(2f+f^{\mathrm{\prime }})=2(e^{4x}{f}^2+1-x)\mathrm{.}$$両辺の $2e^{4x}{f}^2$ を消して$$f(x)f^{\mathrm{\prime }}(x)=2(1-x)e^{-4x}$$を得る。

(2)

$u=y^2$ とおくと $u^{\mathrm{\prime }}=2y{y}^{\mathrm{\prime }}$ なので$$u^{\mathrm{\prime }}-4u=4(1-x)\mathrm{.}$$この方程式の解は$$u=x-{\displaystyle \frac{3}{4}}+C{e}^{4x}$$である。実際、右辺を代入すれば等式を満たす。
点 $(1,{\displaystyle \frac{1}{2}})$ を通るから$${\displaystyle \frac{1}{4}}=1-{\displaystyle \frac{3}{4}}+C{e}^4,$$よって $C=0$ である。第1象限内では $y>0$ なので$$y=\sqrt{x-{\displaystyle \frac{3}{4}}},x>{\displaystyle \frac{3}{4}}\mathrm{.}$$