東北大学 1993年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第3問

(1) $f(x)=x^4-8x^2+7$ である。微分すると $$f^{\mathrm{\prime }}(x)=4x^3-16x=4x(x^2-4)=4x(x-2)(x+2)$$ である。したがって臨界点は $x=-2,0,2$ である。

符号を調べると、$f^{\mathrm{\prime }}(x)$ は$$(-\mathrm{\infty },-2)\text{で負},(-2,0)\text{で正},(0,2)\text{で負},(2,\mathrm{\infty })\text{で正}$$である。よって $x=-2,2$ で極小、$x=0$ で極大である。値は $$f(-2)=f(2)=16-32+7=-9,f(0)=7$$ である。

また $$f(x)=x^4-8x^2+7=(x^2-1)(x^2-7)$$ なので、$x$ 軸との交点は $(-\sqrt{7},0),(-1,0),(1,0),(\sqrt{7},0)$ である。$y$ 軸との交点は $(0,7)$ である。グラフは $y$ 軸に関して対称で、両端は上に向かい、$x=\pm 2$ に谷、$x=0$ に山をもつ概形である。

(2)

直線 $y=-12x+a$ が曲線に接する接点の $x$ 座標を $p$ とする。接線の傾きが $-12$ なので $f^{\mathrm{\prime }}(p)=-12$ である。すなわち $4p(p^2-4)=-12$ であり、$p^3-4p+3=0$ である。因数分解すると $p^3-4p+3=(p-1)(p^2+p-3)$ である。

接点の座標が整数であるためには、少なくとも $p$ は整数である。上の方程式の整数解は $p=1$ だけである。このとき $f(1)=1-8+7=0$ なので、接点は $(1,0)$ である。直線 $y=-12x+a$ がこの点を通るから $0=-12\cdot 1+a$ であり、$a=12$ である。

(3) $a=12$ のとき、直線は $y=-12x+12$ である。曲線との差は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle (-12x+12)-f(x)}& {\displaystyle =-12x+12-(x^4-8x^2+7)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-x^4+8x^2-12x+5}\end{array}$$である。これは $$-x^4+8x^2-12x+5=-(x-1{)}^2(x^2+2x-5)$$ であり、さらに $=(x-1{)}^2\{6-(x+1{)}^2\}$ である。

したがって、直線が曲線の上にある区間は $$-\sqrt{6}\leqq x+1\leqq \sqrt{6}$$ すなわち $$-1-\sqrt{6}\leqq x\leqq -1+\sqrt{6}$$ である。求める面積は$$S={\int }_{-1-\sqrt{6}}^{-1+\sqrt{6}}(x-1{)}^2\{6-(x+1{)}^2\}dx$$である。 $u=x+1$ とおくと $x-1=u-2$ であり、積分区間は $$-\sqrt{6}\leqq u\leqq \sqrt{6}$$ となる。よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={\int }_{-\sqrt{6}}^{\sqrt{6}}(u-2{)}^2(6-u^2)du}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\int }_{-\sqrt{6}}^{\sqrt{6}}(u^2-4u+4)(6-u^2)du}\end{array}$$である。奇関数の部分は積分すると0になるので$$S={\int }_{-\sqrt{6}}^{\sqrt{6}}(2u^2-u^4+24)du$$である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle =2{[{\displaystyle \frac{2u^3}{3}}-{\displaystyle \frac{u^5}{5}}+24u]}_0^{\sqrt{6}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2(4\sqrt{6}-{\displaystyle \frac{36\sqrt{6}}{5}}+24\sqrt{6})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{208\sqrt{6}}{5}}}\end{array}$$である。

(1) は $f(x)=(x^2-4{)}^2-9$ と $(x^2-1)(x^2-7)$ を使い分ける。(2)では傾き $-12$ の接点 $p$ に対する切片 $a=f(p)+12p$ を求める。(3)は直線との差を因数分解し、対称区間で奇関数項を消して積分する。

(1) $$f(x)=(x^2-4{)}^2-9$$だから $x=\pm 2$ で極小値 $-9$ をとる。また $x=0$ の近くでは $x^2$ が増えると値が減るので、$x=0$ で極大値 $7$ をとる。さらに$$f(x)=(x^2-1)(x^2-7)$$より $x$ 軸との交点は$$(\pm 1,0),(\pm \sqrt{7},0),$$$y$ 軸との交点は $(0,7)$ である。偶関数で両端は上がるから概形が定まる。

(2)

接点の $x$ 座標を $p$ とする。傾き条件は$$f^{\mathrm{\prime }}(p)=4p(p^2-4)=-12,$$すなわち$$p^3-4p+3=(p-1)(p^2+p-3)=0.$$接点の座標が整数なので $p$ は整数であり、候補 $\pm 1,\pm 3$ を調べると $p=1$ だけが残る。$f(1)=0$ だから接線の切片は$$a=f(1)+12\cdot 1=12.$$(3)

直線と曲線の差は$$(-12x+12)-f(x)=(x-1{)}^2\{6-(x+1{)}^2\}\mathrm{.}$$よって囲まれる区間は$$-1-\sqrt{6}\leqq x\leqq -1+\sqrt{6}\mathrm{.}$$$u=x+1$ とおくと$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={\int }_{-\sqrt{6}}^{\sqrt{6}}(u-2{)}^2(6-u^2)du}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\int }_{-\sqrt{6}}^{\sqrt{6}}(2u^2-u^4+24)du}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2{[{\displaystyle \frac{2u^3}{3}}-{\displaystyle \frac{u^5}{5}}+24u]}_0^{\sqrt{6}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{208\sqrt{6}}{5}}\mathrm{.}}\end{array}$$2行目では奇関数項の積分が0になることを用いた。