東北大学 1993年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第5問

(1)

放物線上の点 $P$ の $x$ 座標を $s$ とする。すると $$P=(s,-{\displaystyle \frac{1}{2}}{s}^2+4s-6)$$ である。放物線の接線の傾きは $y^{\mathrm{\prime }}=-x+4$ であるから、点 $P$ における接線の傾きは $4-s$ である。

法線は接線に直交し、さらに問題ではその法線が直線 $l$ と直交するとある。したがって直線 $l$ の傾き $t$ は、接線の傾きと等しい。よって $t=4-s$ であり、$s=4-t$ である。これを $P$ に代入すると $$P=(4-t,2-{\displaystyle \frac{t^2}{2}})$$ である。

この点における法線の傾きは $-1\mathrm{/}t$ である。したがって法線の方程式は $$y-(2-{\displaystyle \frac{t^2}{2}})=-{\displaystyle \frac{1}{t}}\{x-(4-t)\}$$ である。一方、直線 $l$ は $y=tx+1$ である。この2直線の交点を $Q$ とすると、連立して $$tx+1-(2-{\displaystyle \frac{t^2}{2}})=-{\displaystyle \frac{1}{t}}\{x-(4-t)\}$$ を得る。これを解くと $$x={\displaystyle \frac{(2-t)(t^2+2t+4)}{2(t^2+1)}}$$ である。よって$$Q=({\displaystyle \frac{(2-t)(t^2+2t+4)}{2(t^2+1)}},{\displaystyle \frac{-t^4+2t^2+8t+2}{2(t^2+1)}})$$である。

(2)

(1) で得た $P,Q$ から計算すると $$P{Q}^2={\displaystyle \frac{(t^2-8t+2{)}^2}{4(t^2+1)}}$$ である。したがって $PQ$ の最大化は、この右辺の最大化と同じである。

与えられた範囲の端点は $$t=4-\sqrt{14},t=4+\sqrt{14}$$ であり、これらは $t^2-8t+2=0$ を満たす。したがって端点では $P{Q}^2=0$ である。

内部で微分する。$F(t)=P{Q}^2$ とおくと $$F^{\mathrm{\prime }}(t)={\displaystyle \frac{(t-2)(t^2-8t+2)(t^2+2t+4)}{2(t^2+1{)}^2}}$$ である。範囲内で $t^2+2t+4>0$ であり、臨界点は $t=2$ および端点である。端点では $PQ=0$ で、$t=2$ では $$P{Q}^2={\displaystyle \frac{(4-16+2{)}^2}{4(5)}}=5$$ となる。

また $$4-\sqrt{14}<t<2$$ では $F^{\mathrm{\prime }}(t)>0$、$$2<t<4+\sqrt{14}$$ では $F^{\mathrm{\prime }}(t)<0$ である。したがって $PQ$ を最大にするのは $t=2$ である。

$Q$ は $P$ から直線 $l:tx-y+1=0$ へ下ろした垂線の足である。射影公式で $Q$ を求め、$PQ$ は点と直線の距離公式で直ちに表す。距離平方を微分して最大を決める。

(1)

放物線上の点を $P=(s,-s^2\mathrm{/}2+4s-6)$ とおく。接線の傾きは $4-s$ である。法線と $l$ が直交するので、接線と $l$ は平行であり$$s=4-t\mathrm{.}$$よって$$P=(4-t,2-{\displaystyle \frac{t^2}{2}})\mathrm{.}$$直線 $l$ は$$tx-y+1=0$$であり、$Q$ は $P$ から $l$ への垂線の足である。射影公式より$$Q=P-{\displaystyle \frac{t(4-t)-(2-t^2\mathrm{/}2)+1}{t^2+1}}(t,-1)\mathrm{.}$$整理すると$$Q=({\displaystyle \frac{(2-t)(t^2+2t+4)}{2(t^2+1)}},{\displaystyle \frac{-t^4+2t^2+8t+2}{2(t^2+1)}})\mathrm{.}$$(2)

点と直線の距離公式から$$PQ={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }t(4-t)-(2-t^2\mathrm{/}2)+1\mathrm{\mid }}{\sqrt{t^2+1}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }{t}^2-8t+2\mathrm{\mid }}{2\sqrt{t^2+1}}}\mathrm{.}$$したがって$$F(t)=P{Q}^2={\displaystyle \frac{(t^2-8t+2{)}^2}{4(t^2+1)}}\mathrm{.}$$微分すると$$F^{\mathrm{\prime }}(t)={\displaystyle \frac{(t-2)(t^2-8t+2)(t^2+2t+4)}{2(t^2+1{)}^2}}\mathrm{.}$$区間の両端 $4\pm \sqrt{14}$ は $t^2-8t+2=0$ の2根であり、$t^2+2t+4>0$ である。よって $F$ は $t=2$ まで増加し、その後減少する。$$F(2)=5$$だから、$PQ$ を最大にする値は$$t=2$$である。このとき最大距離は $\sqrt{5}$ である。