東北大学 1993年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第3問

曲線の右辺を $$f(x)=x^3-(1+t)x^2+(t-2)x+2t$$ とおく。まず $f(-1)=0,f(2)=0$ である。したがって、点 $(-1,0)$、$(2,0)$ はどちらも曲線上にある。

導関数は $$f^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2-2(1+t)x+(t-2)$$ である。

点 $(-1,0)$ を通り、曲線に $x=u$ で接する直線を考える。この接線は $y=f^{\mathrm{\prime }}(u)(x-u)+f(u)$ であり、$(-1,0)$ を通るから $0=f^{\mathrm{\prime }}(u)(-1-u)+f(u)$ すなわち $f(u)=f^{\mathrm{\prime }}(u)(u+1)$ である。これを整理すると $$f(u)-f^{\mathrm{\prime }}(u)(u+1)=(u+1{)}^2(t-2u+2)$$ である。よって接点の候補は $$u=-1,u={\displaystyle \frac{t+2}{2}}$$ である。

同様に、点 $(2,0)$ を通り、曲線に $x=v$ で接する直線を考えると $f(v)=f^{\mathrm{\prime }}(v)(v-2)$ である。整理すると $$f(v)-f^{\mathrm{\prime }}(v)(v-2)=(v-2{)}^2(t-2v-1)$$ であるから、接点の候補は $$v=2,v={\displaystyle \frac{t-1}{2}}$$ である。

それぞれの傾きを求める。$(-1,0)$ を通る接線の傾きは $$f^{\mathrm{\prime }}(-1)=3(t+1),f^{\mathrm{\prime }}\left({\displaystyle \frac{t+2}{2}}\right)=-{\displaystyle \frac{(t-2{)}^2}{4}}$$ である。$(2,0)$ を通る接線の傾きは $$f^{\mathrm{\prime }}(2)=3(2-t),f^{\mathrm{\prime }}\left({\displaystyle \frac{t-1}{2}}\right)=-{\displaystyle \frac{(t+1{)}^2}{4}}$$ である。

平行になるには、これらの傾きが等しければよい。4通りを調べる。

まず $3(t+1)=3(2-t)$ より $t={\displaystyle \frac{1}{2}}$ である。これは $-1<t<2$ を満たす。

次に $$3(t+1)=-{\displaystyle \frac{(t+1{)}^2}{4}}$$ は $(t+1)(t+13)=0$ を与えるが、$t=-1$ は範囲外で、$t=-13$ も範囲外である。

また $$-{\displaystyle \frac{(t-2{)}^2}{4}}=3(2-t)$$ は $(t-2)(t-14)=0$ を与えるが、どちらも範囲 $-1<t<2$ には入らない。

最後に $$-{\displaystyle \frac{(t-2{)}^2}{4}}=-{\displaystyle \frac{(t+1{)}^2}{4}}$$ より $(t-2{)}^2=(t+1{)}^2$ であり、$t={\displaystyle \frac{1}{2}}$ を得る。

したがって $t=1\mathrm{/}2$ だけが条件を満たす。このとき、接点が $u=-1$、$v=2$ の組では傾きは $$3({\displaystyle \frac{1}{2}}+1)={\displaystyle \frac{9}{2}}$$ であるから $$l_1:y={\displaystyle \frac{9}{2}}(x+1),l_2:y={\displaystyle \frac{9}{2}}(x-2)$$ である。

もう一つの組、すなわち $$u={\displaystyle \frac{t+2}{2}}={\displaystyle \frac{5}{4}},v={\displaystyle \frac{t-1}{2}}=-{\displaystyle \frac{1}{4}}$$ では傾きは $$-{\displaystyle \frac{(t-2{)}^2}{4}}=-{\displaystyle \frac{9}{16}}$$ である。よって $$l_1:y=-{\displaystyle \frac{9}{16}}(x+1),l_2:y=-{\displaystyle \frac{9}{16}}(x-2)$$ である。

以上より、求める $t$ は $t={\displaystyle \frac{1}{2}}$ であり、対応する平行な接線の組は上の2組である。

曲線を $f(x)=(x+1)(x-2)(x-t)$ と因数分解する。根を通る接線と、その根を通る別接点での接線を、積の形から求める。各外部点に対する2本の傾きを比較し、平行条件を因数分解して範囲内の $t$ を残す。

曲線は$$f(x)=(x+1)(x-2)(x-t)$$と因数分解できる。

$(-1,0)$ を通る接線について考える。1本は $x=-1$ での接線で、傾きは$$f^{\mathrm{\prime }}(-1)=(-1-2)(-1-t)=3(t+1)\mathrm{.}$$別の接点を $u\mathrm{\ne }-1$ とすると、接線が $(-1,0)$ を通る条件は$$f(u)=f^{\mathrm{\prime }}(u)(u+1)\mathrm{.}$$積の形を用いて整理すると$$(u+1{)}^2(t-2u+2)=0$$だから$$u={\displaystyle \frac{t+2}{2}},f^{\mathrm{\prime }}(u)=-{\displaystyle \frac{(t-2{)}^2}{4}}\mathrm{.}$$同様に $(2,0)$ を通る2本の接線の傾きは$$3(2-t),-{\displaystyle \frac{(t+1{)}^2}{4}},$$後者の接点は $v=(t-1)\mathrm{/}2$ である。

4通りの傾きの一致を調べると$$3(t+1)=3(2-t)$$および$$(t-2{)}^2=(t+1{)}^2$$はいずれも $t=1\mathrm{/}2$ を与える。他の2通りは$$(t+1)(t+13)=0,(t-2)(t-14)=0$$となり、$-1<t<2$ に解をもたない。

$t=1\mathrm{/}2$ のとき、根 $-1,2$ での接線は$$l_1:y={\displaystyle \frac{9}{2}}(x+1),l_2:y={\displaystyle \frac{9}{2}}(x-2)\mathrm{.}$$別接点 $u=5\mathrm{/}4,v=-1\mathrm{/}4$ での接線は$$l_1:y=-{\displaystyle \frac{9}{16}}(x+1),l_2:y=-{\displaystyle \frac{9}{16}}(x-2)\mathrm{.}$$よって求める $t$ は $1\mathrm{/}2$ で、平行な接線の組はこの2組である。