東北大学 1991年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第1問

(1)
共通接線 $l$ の傾きを $m$ とする。問題より $m>0$ である。

放物線 $$C_1:y=a{x}^2+{\displaystyle \frac{1}{3a^3}}$$ 上で傾きが $m$ となる点の $x$ 座標を $p$ とすると $2ap=m$ だから $$p={\displaystyle \frac{m}{2a}}$$ である。この点における接線の $y$ 切片は$$(a{p}^2+{\displaystyle \frac{1}{3a^3}})-mp={\displaystyle \frac{m^2}{4a}}+{\displaystyle \frac{1}{3a^3}}-{\displaystyle \frac{m^2}{2a}}=-{\displaystyle \frac{m^2}{4a}}+{\displaystyle \frac{1}{3a^3}}$$である。

同じ直線が $$C_2:y=b{x}^2+{\displaystyle \frac{1}{3b^3}}$$ にも接するので、切片が等しく $$-{\displaystyle \frac{m^2}{4a}}+{\displaystyle \frac{1}{3a^3}}=-{\displaystyle \frac{m^2}{4b}}+{\displaystyle \frac{1}{3b^3}}$$ である。これを整理する。 $${\displaystyle \frac{m^2}{4}}({\displaystyle \frac{1}{b}}-{\displaystyle \frac{1}{a}})={\displaystyle \frac{1}{3b^3}}-{\displaystyle \frac{1}{3a^3}}$$ であるから$${\displaystyle \frac{m^2}{4}}\cdot {\displaystyle \frac{a-b}{ab}}={\displaystyle \frac{a^3-b^3}{3a^3{b}^3}}={\displaystyle \frac{(a-b)(a^2+ab+b^2)}{3a^3{b}^3}}$$である。$a\mathrm{\ne }b$ より $$m^2={\displaystyle \frac{4(a^2+ab+b^2)}{3a^2{b}^2}}$$ である。$m>0$ なので $$m={\displaystyle \frac{2\sqrt{a^2+ab+b^2}}{\sqrt{3}ab}}$$ である。

したがって $$p={\displaystyle \frac{m}{2a}}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}\sqrt{a^2+ab+b^2}}{3a^{2}b}}$$ である。また$$q=a{p}^2+{\displaystyle \frac{1}{3a^3}}={\displaystyle \frac{a^2+ab+b^2}{3a^3{b}^2}}+{\displaystyle \frac{b^2}{3a^3{b}^2}}={\displaystyle \frac{a^2+ab+2b^2}{3a^3{b}^2}}$$である。よって$$p={\displaystyle \frac{\sqrt{3}\sqrt{a^2+ab+b^2}}{3a^{2}b}},q={\displaystyle \frac{a^2+ab+2b^2}{3a^3{b}^2}}$$である。

(2) $b\to a$ とすると $$X=\underset{b\to a}{\lim }p={\displaystyle \frac{\sqrt{3}\sqrt{3a^2}}{3a^3}}={\displaystyle \frac{1}{a^2}}$$ である。また $$Y=\underset{b\to a}{\lim }q={\displaystyle \frac{4a^2}{3a^5}}={\displaystyle \frac{4}{3a^3}}$$ である。

ここで $a>0$ なので $X=1\mathrm{/}{a}^2>0$ であり $${\displaystyle \frac{1}{a}}=\sqrt{X}$$ である。したがって $$Y={\displaystyle \frac{4}{3a^3}}={\displaystyle \frac{4}{3}}{\left({\displaystyle \frac{1}{a}}\right)}^3={\displaystyle \frac{4}{3}}{X}^{3\mathrm{/}2}$$ である。よって$$X={\displaystyle \frac{1}{a^2}},Y={\displaystyle \frac{4}{3a^3}},Y={\displaystyle \frac{4}{3}}{X}^{3\mathrm{/}2}(X>0)$$である。

(3)
(2)より、点 $(X,Y)$ は $$Y={\displaystyle \frac{4}{3}}{X}^{3\mathrm{/}2},X>0$$ を満たす。したがって曲線は第1象限にあり、$X\to 0+$ で $Y\to 0+$、$X\to \mathrm{\infty }$ で $Y\to \mathrm{\infty }$ となる。さらに $${\displaystyle \frac{dY}{dX}}=2\sqrt{X}>0$$ なので増加し、傾きは原点に近づくほど0に近づく。概形は、原点に右側から接するように近づき、第1象限で増加して上に伸びる曲線である。

$C_1$ 上の接点を $(p,q)$ とし、その接線を $p$ で表す。同じ直線が $C_2$ に接する条件を判別式0で書けば、傾きを別に置かず$p,q$ を直接決められる。

(1)
$C_1$ の $x=p$ における接線は$$y=2apx-a{p}^2+{\displaystyle \frac{1}{3a^3}}\mathrm{.}$$これと $C_2$ の交点を求める2次方程式が重解をもつ条件は$$(2ap{)}^2-4b(a{p}^2-{\displaystyle \frac{1}{3a^3}}+{\displaystyle \frac{1}{3b^3}})=0.$$整理し、$a\mathrm{\ne }b$ を用いると$$p^2={\displaystyle \frac{a^2+ab+b^2}{3a^4{b}^2}}\mathrm{.}$$接線の傾きが正なので $p>0$ であり、$$p={\displaystyle \frac{\sqrt{a^2+ab+b^2}}{\sqrt{3}{a}^{2}b}}\mathrm{.}$$さらに$$q=a{p}^2+{\displaystyle \frac{1}{3a^3}}={\displaystyle \frac{a^2+ab+2b^2}{3a^3{b}^2}}\mathrm{.}$$(2)
$b\to a$ とすれば$$X={\displaystyle \frac{1}{a^2}},Y={\displaystyle \frac{4}{3a^3}}\mathrm{.}$$$a>0$ より $$1\mathrm{/}a=\sqrt{X}$$ なので$$Y={\displaystyle \frac{4}{3}}{X}^{3\mathrm{/}2}(X>0)\mathrm{.}$$(3)$${\displaystyle \frac{dY}{dX}}=2\sqrt{X}>0$$である。したがって第1象限で単調に増加し、原点へ右側から水平に近づき、
$X\to \mathrm{\infty }$ で $Y\to \mathrm{\infty }$ となる曲線である。