東北大学 1993年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

点 $P$ の $x$ 座標を $u$ とする。条件より $u\geqq 0$ であり、$P=(u,\log (u+1)+1)$ である。ここで $L=\log (u+1)+1$ とおくと、$u\geqq 0$ より $L\geqq 1$ である。

曲線 $C$ の接線の傾きは $y^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{1}{x+1}}$ であるから、点 $P$ における接線の傾きは $1\mathrm{/}(u+1)$ である。したがって法線の傾きは $-(u+1)$ である。法線の方程式は $y-L=-(u+1)(x-u)$ である。

この法線と $x$ 軸との交点を $R$ とする。$y=0$ を代入すると $-L=-(u+1)(x-u)$ だから $$x-u={\displaystyle \frac{L}{u+1}}$$ である。よって、垂線の足は $(u,0)$ であり、三角形の底辺の長さは ${\displaystyle \frac{L}{u+1}}$ 高さは $L$ である。したがって面積は $$S={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot L\cdot {\displaystyle \frac{L}{u+1}}={\displaystyle \frac{\{\log (u+1)+1{\}}^2}{2(u+1)}}$$ である。

ここで $v=u+1$ とおくと、$v\geqq 1$ であり、$$S={\displaystyle \frac{(\log v+1{)}^2}{2v}}$$ である。$m=\log v+1$ とおくと $${\displaystyle \frac{dS}{dv}}={\displaystyle \frac{m(2-m)}{2v^2}}$$ である。実際、$m^{\mathrm{\prime }}=1\mathrm{/}v$ を用いて微分すればよい。 $v\geqq 1$ では $m\geqq 1$ である。したがって $1\leqq m<2$ で $S$ は増加し、$m>2$ で減少する。最大は $m=2$ のとき、すなわち $\log v+1=2$ より $v=e$ のときである。このとき $$S_{\max }={\displaystyle \frac{2^2}{2e}}={\displaystyle \frac{2}{e}}$$ である。

面積を $v=u+1$、さらに $r=\log v+1$ で表すところまでは座標で求める。その後は微分せず、$\log x\leqq x-1$ を $x=r\mathrm{/}2$ に適用して $r^2{e}^{-r}\leqq 4e^{-2}$ を示し、等号条件から最大値を決める。

点 $P$ の $x$ 座標を $u\geqq 0$ とし$$L=\log (u+1)+1$$とおく。接線の傾きは $1\mathrm{/}(u+1)$ なので、法線の傾きは $-(u+1)$ である。法線と $x$ 軸の交点までの水平距離は $L\mathrm{/}(u+1)$ だから$$S={\displaystyle \frac{L^2}{2(u+1)}}\mathrm{.}$$$$v=u+1\geqq 1,r=\log v+1\geqq 1$$とおくと $v=e^{r-1}$ であり$$S={\displaystyle \frac{r^2}{2e^{r-1}}}={\displaystyle \frac{e}{2}}{r}^2{e}^{-r}\mathrm{.}$$ここで任意の正数 $x$ について$$\log x\leqq x-1$$である。$x=r\mathrm{/}2$ とすると$$2\log {\displaystyle \frac{r}{2}}\leqq r-2.$$指数を取って整理すれば$${\displaystyle \frac{r^2}{4}}\leqq e^{r-2},r^2{e}^{-r}\leqq 4e^{-2}\mathrm{.}$$したがって$$S\leqq {\displaystyle \frac{e}{2}}\cdot 4e^{-2}={\displaystyle \frac{2}{e}}\mathrm{.}$$等号は $r\mathrm{/}2=1$、すなわち $r=2$ のときに限る。このとき$$\log v+1=2,v=e,u=e-1.$$よって面積の最大値は$${\displaystyle \frac{2}{e}}$$である。