東北大学 1993年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第4問

(1)

円周上の4つの位置を固定して、そこへ白2個、黒2個を入れると考える。全体の色の配置は ${}_4{\mathrm{C}}_2=6$ 通りである。

同じ色が隣りあわないためには、白と黒が交互に並ぶしかない。その配置は $WBWB,BWBW$ の2通りである。したがって求める確率は ${\displaystyle \frac{2}{6}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$ である。

(2)

赤、青、黄をそれぞれ $R,B,Y$ と書く。円周上の6つの位置を固定して色を入れると、全体の配置は $${\displaystyle \frac{6!}{2!2!2!}}=90$$ 通りである。

ここから、同じ色が隣り合う配置を包除原理で除く。まず、赤2個が隣り合う配置を数える。円周上には隣り合う位置の組が6組ある。そのうち1組を赤で埋めると、残り4位置に青2個、黄2個を入れるので $$6\cdot {\displaystyle \frac{4!}{2!2!}}=36$$ 通りである。青、黄についても同じく36通りである。

次に、赤2個も青2個もそれぞれ隣り合う配置を数える。赤の隣接位置を1つ選ぶと6通りであり、それと頂点を共有しない隣接位置は3通りある。そこを青で埋めれば、残り2位置は黄で決まる。したがって $6\cdot 3=18$ 通りである。色の組は $RB,RY,BY$ の3通りなので、2色について同時に隣り合う配置は合計で $3\cdot 18$ 通りである。

最後に、3色すべてがそれぞれ隣り合う配置を数える。円周上の6位置を3つの隣接組に分ける方法は $(1,2),(3,4),(5,6)$ または $(2,3),(4,5),(6,1)$ の2通りである。そこへ3色を割り当てる方法が $3!$ 通りあるので $2\cdot 3!=12$ 通りである。

包除原理より、同じ色が隣り合わない配置は $$90-3\cdot 36+3\cdot 18-12=24$$ 通りである。したがって求める確率は $${\displaystyle \frac{24}{90}}={\displaystyle \frac{4}{15}}$$ である。

包除原理ではなく有利な色配置を直接数える。赤2個を非隣接に置く9通りを、向かい合う3通りと、向かい合わない6通りに分ける。残りへの青2個の置き方を代表配置で数えて24通りを得る。

(1)

円周上の4位置を固定する。白2個の位置の選び方は6通りで、交互配置は2通りだから$${\displaystyle \frac{2}{6}}={\displaystyle \frac{1}{3}}\mathrm{.}$$(2)

全色配置は$${\displaystyle \frac{6!}{2!2!2!}}=90$$通りである。まず赤2個が隣り合わない置き方は$${}_6{\mathrm{C}}_2-6=9$$通りである。

赤が向かい合う場合は3通り。例えば赤を1番・4番に置くと、残る2組の連続位置から青を1個ずつ選ぶ必要があり、青の置き方は $2\cdot 2=4$ 通りである。よって$$3\cdot 4=12$$通り。

赤が非隣接かつ向かい合わない場合は $9-3=6$ 通り。代表として赤を1番・3番に置くと、青・黄のどちらも隣り合わない青の位置は $\{4,6\}$ または $\{2,5\}$ の2通りである。回転しても同じ数なので$$6\cdot 2=12$$通り。

したがって有利な配置は $12+12=24$ 通りで、求める確率は$${\displaystyle \frac{24}{90}}={\displaystyle \frac{4}{15}}\mathrm{.}$$固定位置で数えてよいのは、各色配置に対応する個体の並べ方が常に $2{!}^3$ 通りで同じだからである。