東北大学 1994年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第4問

(1)
$i$ 個目の目を $X_i$ とし、$Y_i=X_i-1$ とおく。条件は$$Y_1+\cdots +Y_N=19,Y_i\geqq 0$$となる。和が19なので $Y_i\leqq 19$ は自動的に満たされる。
非負整数解の個数は、19個の仕切られない同じものを $N$ 箱へ分ける
重複組合せ$${}_{N+18}{\mathrm{C}}_{19}$$である。全事象は ${20}^N$ 通りだから$$P_N={\displaystyle \frac{{}_{N+18}{\mathrm{C}}_{19}}{{20}^N}}\mathrm{.}$$特に $N=1$ では $P_1=1\mathrm{/}20$ となり、添字も確認できる。

(2) $${\displaystyle \frac{1}{N}}\log P_N={\displaystyle \frac{1}{N}}\log {}_{N+18}{\mathrm{C}}_{19}-\log 20.$$ここで$${}_{N+18}{\mathrm{C}}_{19}={\displaystyle \frac{N(N+1)\cdots (N+18)}{19!}}$$は $N$ の19次程度であるから$$0\leqq {\displaystyle \frac{1}{N}}\log {}_{N+18}{\mathrm{C}}_{19}\leqq {\displaystyle \frac{19\log (N+18)}{N}}⟶0.$$したがって$$\underset{N\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{1}{N}}\log P_N=-\log 20.$$19個を $N$ 箱へ分配

各目から1を引いた後、母関数の19次係数として数える。有限等比和の19次以下は $(1-z{)}^{-N}$ と一致するため、重複組合せの添字を確実に決められる。

(1)
各サイコロの目を $X_i$、$Y_i=X_i-1$ とすると$$Y_1+\cdots +Y_N=19,0\leqq Y_i\leqq 19.$$有利な場合の数は$$[z^{19}](1+z+\cdots +z^{19}{)}^N$$である。19次係数までなら各因子を$$1+z+\cdots ={\displaystyle \frac{1}{1-z}}$$に替えてよいから$$[z^{19}](1-z{)}^{-N}={}_{N+18}{\mathrm{C}}_{19}\mathrm{.}$$したがって$$P_N={\displaystyle \frac{{}_{N+18}{\mathrm{C}}_{19}}{{20}^N}}\mathrm{.}$$(2)
${}_{N+18}{\mathrm{C}}_{19}$ は $N$ の19次程度であり、$$1\leqq {}_{N+18}{\mathrm{C}}_{19}\leqq (N+18{)}^{19}$$である。よって$$0\leqq {\displaystyle \frac{1}{N}}\log {}_{N+18}{\mathrm{C}}_{19}\leqq {\displaystyle \frac{19\log (N+18)}{N}}⟶0.$$以上から$$\underset{N\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{1}{N}}\log P_N=-\log 20.$$