東北大学 1992年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

(1)
第1投の目を $U$，第2投の目を $V$ とすると $X=U-V$ である。$X=k$ となるには $U-V=k$ を満たす $(U,V)$ の組を数えればよい。 $k=0$ のときは $6$ 通り，$k=1$ のときは $5$ 通り，というように，$k=-5,-4,\dots ,5$ に対して組の数は $6-\mathrm{\mid }k\mathrm{\mid }$ 通りである。全体は $36$ 通りだから $$P(X=k)={\displaystyle \frac{6-\mathrm{\mid }k\mathrm{\mid }}{36}}(k=-5,-4,\dots ,5)$$ である。

(2)
分布は $0$ を中心に対称であるから $E(X)=0$ である。

また $X=U-V$ で，$U,V$ は独立で同じ分布をもつ。サイコロ1個について$$E(U)={\displaystyle \frac{7}{2}},E(U^2)={\displaystyle \frac{1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2}{6}}={\displaystyle \frac{91}{6}}$$より $$V(U)={\displaystyle \frac{91}{6}}-{\left({\displaystyle \frac{7}{2}}\right)}^2={\displaystyle \frac{35}{12}}$$ である。したがって $$V(X)=V(U-V)=V(U)+V(V)=2\cdot {\displaystyle \frac{35}{12}}={\displaystyle \frac{35}{6}}$$ である。

(3)
1回の試行で最大の移動量は $5$ であり，これは $(U,V)=(6,1)$ の1通りで起こる。6回の合計の最大値は $30$ である。

合計が $29$ になるには，最大値30から不足が1だけ出ればよい。つまり1回だけ $X=4$ で，残り5回は $X=5$ である。$X=4$ となる組は $2$ 通りであるから$$P(\text{合計}=29)={\displaystyle \frac{{}_6{\mathrm{C}}_1\cdot 2}{{36}^6}}={\displaystyle \frac{12}{{36}^6}}$$である。

合計が $28$ になるには，最大値30から不足が2出ればよい。これは $$\text{1回だけ }X=3\text{ で残りが }X=5$$ または $$\text{2回だけ }X=4\text{ で残りが }X=5$$ のどちらかである。$X=3$ となる組は $3$ 通り，$X=4$ となる組は $2$ 通りである。よって、求める確率は$$P(\text{合計}=28)={\displaystyle \frac{{}_6{\mathrm{C}}_1\cdot 3+{}_6{\mathrm{C}}_2\cdot 2^2}{{36}^6}}={\displaystyle \frac{78}{{36}^6}}$$

1回分の差の分布を対称な表として作り、期待値・分散をその表から直接求める。
6回後の29、28は、最大値30からの不足を表す母関数の低次係数として数える。

(1)

第1投を $U$、第2投を $V$ とすれば $X=U-V$ である。
$X=k$ となる組は $6-\mathrm{\mid }k\mathrm{\mid }$ 通りなので$$\mathrm{Pr}(X=k)={\displaystyle \frac{6-\mathrm{\mid }k\mathrm{\mid }}{36}}(-5\leqq k\leqq 5)\mathrm{.}$$(2)

分布が0について対称だから $E(X)=0$ である。また$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V(X)=E(X^2)}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2}{36}}\sum _{k=1}^5{k}^2(6-k)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2}{36}}(5+16+27+32+25)={\displaystyle \frac{35}{6}}\mathrm{.}}\end{array}$$(3)

1回の最大値は5である。最大値からの不足を $D=5-X$ とすると、
不足 $0,1,2$ を生じるサイコロの組数はそれぞれ $1,2,3$ である。
6回分の不足の総和に対する組数は$$(1+2z+3z^2+\cdots {)}^6$$の係数で読める。合計29は不足1だから、$z$ の係数は$$6\cdot 2=12.$$合計28は不足2だから、$z^2$ の係数は$$6\cdot 3+{}_6{\mathrm{C}}_2\cdot 2^2=18+60=78.$$全事象は各試行36通り、6回で ${36}^6$ 通りなので$$\mathrm{Pr}(\text{合計}=29)={\displaystyle \frac{12}{{36}^6}},\mathrm{Pr}(\text{合計}=28)={\displaystyle \frac{78}{{36}^6}}\mathrm{.}$$