東北大学 1994年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

(1)

優勝が決まる最短の試合数は $N$ 回である。$X=N$ となるのは、どちらか一方のチームが最初から $N$ 連勝する場合なので $$P(X=N)=2{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^N={\displaystyle \frac{1}{2^{N-1}}}$$ である。

次に $X=N+1$ となる場合を考える。優勝チームを固定すると、最後の試合はそのチームが勝つ。直前の $N$ 試合では、優勝チームが $N-1$ 勝、相手が1勝していればよい。その相手の1勝の位置は $N$ 通りである。優勝チームは2通りあるから $$P(X=N+1)={\displaystyle \frac{2N}{2^{N+1}}}={\displaystyle \frac{N}{2^N}}$$ である。したがって $$P(X\leqq N+1)={\displaystyle \frac{1}{2^{N-1}}}+{\displaystyle \frac{N}{2^N}}={\displaystyle \frac{N+2}{2^N}}$$ である。

(2) $X=N+j$ とする。ただし $0\leqq j\leqq N-1$ である。優勝チームを固定すると、最後の試合は優勝チームの勝ちである。その前の $N+j-1$ 試合では、優勝チームが $N-1$ 勝、相手が $j$ 勝している必要がある。

その並び方は ${}_{N+j-1}{\mathrm{C}}_j$ 通りである。優勝チームは $A,B$ の2通りなので$$P(X=N+j)={\displaystyle \frac{2{}_{N+j-1}{\mathrm{C}}_j}{2^{N+j}}}={\displaystyle \frac{{}_{N+j-1}{\mathrm{C}}_j}{2^{N+j-1}}}$$である。

(3)

(2) の確率を、$j=0,1,\dots ,N-1$ について足すと、どこかで必ず優勝チームが決まるので和は1である。したがって $$\sum _{j=0}^{N-1}{\displaystyle \frac{{}_{N+j-1}{\mathrm{C}}_j}{2^{N+j-1}}}=1$$ である。

ここで $n=N-1$ とおくと $$\sum _{j=0}^n{\displaystyle \frac{{}_{n+j}{\mathrm{C}}_j}{2^{n+j}}}=1$$ となる。両辺に $2^n$ を掛ければ $$\sum _{j=0}^n{}_{n+j}{\mathrm{C}}_j{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^j=2^n$$ である。よって $a_n=2^n$ である。

確率とは独立に、パスカルの関係を使って有限和 $a_n$ の漸化式を作る。端の二項係数がちょうど相殺することを示し、帰納的に閉じた式を得る。

(1) $$P(X\leqq N+1)={\displaystyle \frac{1}{2^{N-1}}}+{\displaystyle \frac{N}{2^N}}={\displaystyle \frac{N+2}{2^N}}\mathrm{.}$$(2)
優勝チームと最後の1試合を固定して数えると$$P(X=N+j)={\displaystyle \frac{{}_{N+j-1}{\mathrm{C}}_j}{2^{N+j-1}}}(0\leqq j\leqq N-1)\mathrm{.}$$(3)
パスカルの関係を用いると$$a_n=\sum _{j=0}^n\{{}_{n+j-1}{\mathrm{C}}_j+{}_{n+j-1}{\mathrm{C}}_{j-1}\}{2}^{-j}\mathrm{.}$$第1の和は$$a_{n-1}+{}_{2n-1}{\mathrm{C}}_n{2}^{-n},$$第2の和は$${\displaystyle \frac{1}{2}}(a_n-{}_{2n}{\mathrm{C}}_n{2}^{-n})$$である。ここで$${}_{2n}{\mathrm{C}}_n=2{}_{2n-1}{\mathrm{C}}_n$$だから端の項が相殺し、$a_n=2a_{n-1}$ を得る。
$a_1=2$ より$$a_n=2^n\mathrm{.}$$