東北大学 1993年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

(1)

まず$$A=\left(\begin{array}{cc}1& a\\ 0& 1\end{array}\right)$$であるから、自然数 $n$ について$$A^n=\left(\begin{array}{cc}1& na\\ 0& 1\end{array}\right)$$である。これは $n=1$ では明らかで、$n$ から $n+1$ への積でも右上成分が $na+a=(n+1)a$ となるため、帰納法で示せる。

したがって$$N=A^n-E=\left(\begin{array}{cc}0& na\\ 0& 0\end{array}\right)$$である。よって$$N^2=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$$である。また $(E+N)(E-N)=E-N^2=E$ である。

(2)

(1) より $(E+N)(E-N)=E$ である。さらに行列の積の順序を逆にしても $(E-N)(E+N)=E-N^2=E$ である。したがって $E-N$ は逆行列をもち、$$(E-N{)}^{-1}=E+N=\left(\begin{array}{cc}1& na\\ 0& 1\end{array}\right)$$である。

(3)

仮に$$X=\left(\begin{array}{cc}x& y\\ z& w\end{array}\right)$$が $X^2=N$ を満たすとする。成分を計算すると$$X^2=\left(\begin{array}{cc}{x}^2+yz& y(x+w)\\ z(x+w)& zy+w^2\end{array}\right)$$である。これが$$N=\left(\begin{array}{cc}0& na\\ 0& 0\end{array}\right)$$に等しいので $$x^2+yz=0,y(x+w)=na,$$ $$z(x+w)=0,zy+w^2=0$$ が成り立つ。

ここで $a\mathrm{\ne }0$ かつ $n$ は自然数だから $na\mathrm{\ne }0$ である。したがって $y(x+w)=na\mathrm{\ne }0$ より $x+w\mathrm{\ne }0$ である。すると $z(x+w)=0$ から $z=0$ である。

これを $x^2+yz=0$、$zy+w^2=0$ に代入すると $x^2=0,w^2=0$ であるから $x=0,w=0$ となる。すると $x+w=0$ となり、先ほど得た $x+w\mathrm{\ne }0$ に矛盾する。

よって $X^2=N$ を満たす行列 $X$ は存在しない。

$A=E+K,K^2=O$ と見て $A^n=E+nK$ を出す。(3)では $X^2=N$ なら $\det X=0$ かつ $\mathrm{tr}(X^2)=0$ となることを使う。2次正方行列の恒等式 $X^2-(\mathrm{tr}X)X+(\det X)E=O$ を成分で確認し、$X^2=O$ という矛盾を得る。

(1) $$K=\left(\begin{array}{cc}0& a\\ 0& 0\end{array}\right)$$とおけば $A=E+K$、$K^2=O$ である。積を展開すると2次以上の $K$ は消えるので$$A^n=(E+K{)}^n=E+nK=\left(\begin{array}{cc}1& na\\ 0& 1\end{array}\right)\mathrm{.}$$したがって$$N=nK=\left(\begin{array}{cc}0& na\\ 0& 0\end{array}\right),N^2=O\mathrm{.}$$よって$$(E+N)(E-N)=E-N^2=E\mathrm{.}$$(2)

同様に $(E-N)(E+N)=E$ も成り立つから$$(E-N{)}^{-1}=E+N=\left(\begin{array}{cc}1& na\\ 0& 1\end{array}\right)\mathrm{.}$$(3)

仮に $X^2=N$ とする。行列式を取ると$$(\det X{)}^2=\det N=0$$だから $\det X=0$ である。また $$\mathrm{t}\mathrm{r}(X^2)=\mathrm{t}\mathrm{r}(N)=0$$ である。$$X=\left(\begin{array}{cc}x& y\\ z& w\end{array}\right)$$について$$\mathrm{t}\mathrm{r}(X^2)=x^2+w^2+2yz=(x+w{)}^2-2(xw-yz)\mathrm{.}$$$\det X=xw-yz=0$ なので $(x+w{)}^2=0$、すなわち $\mathrm{t}\mathrm{r}X=x+w=0$ である。

2次正方行列では成分計算により$$X^2-(\mathrm{t}\mathrm{r}X)X+(\det X)E=O$$が成り立つ。ここへ $\mathrm{t}\mathrm{r}X=0,\det X=0$ を入れると $X^2=O$ となる。しかし$$N=\left(\begin{array}{cc}0& na\\ 0& 0\end{array}\right)\mathrm{\ne }O$$である。実際 $n$ は自然数、$a\mathrm{\ne }0$ だから $na\mathrm{\ne }0$ である。矛盾より、そのような $X$ は存在しない。