東北大学 1994年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

(1)

与えられた2つの行列を見ると $B=A^T$ である。条件 $B=3A^{-1}$ より $A^T=3A^{-1}$ であるから、右から $A$ を掛けて $A^{T}A=3E$ を得る。これは、$A$ の2つの列ベクトルがともに長さ $\sqrt{3}$ で、互いに垂直であることを表す。

第1列と第2列はそれぞれ$$\left(\begin{array}{c}\sqrt{2}\sin \theta \\ a\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}2\cos \theta \\ b\end{array}\right)$$である。したがって $2{\sin }^2\theta +a^2=3$ $4{\cos }^2\theta +b^2=3$ $$2\sqrt{2}\sin \theta \cos \theta +ab=0$$ が成り立つ。 $u={\cos }^2\theta$ とおくと、上の2つの長さ条件から $$a^2=1+2u,b^2=3-4u$$ である。また内積条件を2乗すると $$a^2{b}^2=8{\sin }^2\theta {\cos }^2\theta =8(1-u)u$$ である。よって $(1+2u)(3-4u)=8u(1-u)$ となり、整理して $3-6u=0$ を得る。したがって ${\cos }^2\theta ={\displaystyle \frac{1}{2}}$ である。 $$0^{\circ }\leqq \theta \leqq {180}^{\circ }$$ かつ $\sin \theta \geqq 0$ なので、候補は $$\theta ={45}^{\circ },\theta ={135}^{\circ }$$ である。$\theta ={45}^{\circ }$ のときは $$2\sqrt{2}\sin \theta \cos \theta >0$$ だから、内積条件より $ab<0$ となり、条件 $ab\geqq 0$ に反する。したがって $\theta ={135}^{\circ }$ である。

このとき $$\sqrt{2}\sin \theta =1,2\cos \theta =-\sqrt{2}$$ であり、長さ条件から $a^2=2,b^2=1$ である。さらに内積条件から $ab=\sqrt{2}$ である。よって $$(a,b)=(\sqrt{2},1),(a,b)=(-\sqrt{2},-1)$$ の2通りである。

したがって求める行列は$$A=\left(\begin{array}{cc}1& -\sqrt{2}\\ \sqrt{2}& 1\end{array}\right)$$または$$A=\left(\begin{array}{cc}1& -\sqrt{2}\\ -\sqrt{2}& -1\end{array}\right)$$である。

(2)

(1) で得たどちらの行列についても $A^{T}A=3E$ が成り立つ。点 $(x,y)$ を列ベクトル $X$ とし、移った点を $Y=AX$ とすると $$\mathrm{\mid }Y{\mathrm{\mid }}^2=Y^{T}Y=(AX{)}^T(AX)=X^T{A}^{T}AX=3X^{T}X=3(x^2+y^2)$$ である。

もとの点が円 $x^2+y^2=1$ 上を動くとき、移った点 $(X,Y)$ は $X^2+Y^2=3$ を満たす。逆に $A$ は逆行列をもつので、この円周上の各点はもとの円周上の点から移ってくる。したがって求める図形は $x^2+y^2=3$ で表される円である。

単位円の像

逆行列を成分表示して条件を直接比較する。行列式を消去して三角関数と $a,b$ の関係を決め、最後に $A^{\mathsf{T}}A=3E$ から像の方程式を得る。

(1) $$A^{-1}={\displaystyle \frac{1}{\det A}}\left(\begin{array}{cc}b& -2\cos \theta \\ -a& \sqrt{2}\sin \theta \end{array}\right)$$である。$B=3A^{-1}$ の各成分を比較し、両辺に $\det A$ を掛けると$$\sqrt{2}\sin \theta \det A=3b,a\det A=-6\cos \theta ,$$$$2\cos \theta \det A=-3a,b\det A=3\sqrt{2}\sin \theta \mathrm{.}$$第2・第3式から、$a\mathrm{\ne }0$ の場合は $(\det A{)}^2=18$ が得られ、
第1・第4式も合わせると列の長さはともに $\sqrt{3}$、内積は0となる。
すなわち$$A^{\mathsf{T}}A=3E\mathrm{.}$$この成分条件を解くと$$\theta ={135}^{\circ },a^2=2,b^2=1,ab=\sqrt{2}\mathrm{.}$$したがって$$A=\left(\begin{array}{cc}1& -\sqrt{2}\\ \sqrt{2}& 1\end{array}\right),A=\left(\begin{array}{cc}1& -\sqrt{2}\\ -\sqrt{2}& -1\end{array}\right)\mathrm{.}$$(2)
像の点を $$\mathit{y}=A\mathit{x}$$ とすると$$\mathrm{\mid }\mathit{y}{\mathrm{\mid }}^2={\mathit{x}}^{\mathsf{T}}{A}^{\mathsf{T}}A\mathit{x}=3\mathrm{\mid }\mathit{x}{\mathrm{\mid }}^2\mathrm{.}$$よって単位円の像は$$x^2+y^2=3$$である。