東北大学 1995年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

角 $\theta$ の回転行列を$$R=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)$$とおく。仮定より $A^2=R$ である。行列の積の結合法則から $AR=A{A}^2=A^3=A^{2}A=RA$ が成り立つ。 $$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$$，$C=\cos \theta$，$S=\sin \theta$ と書く。$0<\theta <\pi$ より $S\mathrm{\ne }0$ である。$AR=RA$ を成分で書くと$$\left(\begin{array}{cc}aC+bS& -aS+bC\\ cC+dS& -cS+dC\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}Ca-Sc& Cb-Sd\\ Sa+Cc& Sb+Cd\end{array}\right)$$である。左上成分を比べると $aC+bS=aC-cS$ より $b=-c$ を得る。また右上成分を比べると $-aS+bC=bC-dS$ より $a=d$ を得る。したがって$$A=\left(\begin{array}{cc}u& v\\ -v& u\end{array}\right)$$と書ける。

次に行列式を見る。$A^2=R$ であり，回転行列の行列式は1だから $$(\det A{)}^2=\det (A^2)=\det R=1$$ である。一方，上の形から $\det A=u^2+v^2\geqq 0$ なので $u^2+v^2=1$ である。よって，ある角 $\varphi$ を用いて $$u=\cos \varphi ,v=\sin \varphi$$ と表せる。したがって$$A=\left(\begin{array}{cc}\cos \varphi & \sin \varphi \\ -\sin \varphi & \cos \varphi \end{array}\right)$$となる。これは角 $-\varphi$ の回転を表す行列である。ゆえに $A$ も回転を表す行列である。

交換関係を使わず、$A^2$ の4成分を回転行列と直接比較する。非自明な回転なので $\sin \theta \mathrm{\ne }0$ であり、これが $A$ の対角成分と非対角成分を回転行列の形に強制する。

$$A^2=\left(\begin{array}{cc}{a}^2+bc& b(a+d)\\ c(a+d)& bc+d^2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)\mathrm{.}$$$0<\theta <\pi$ より $\sin \theta \mathrm{\ne }0$ である。非対角成分から$$b(a+d)=-\sin \theta ,c(a+d)=\sin \theta$$を得る。したがって $a+d\mathrm{\ne }0$ かつ $c=-b$ である。
対角成分が等しいことから $a^2+bc=bc+d^2$、すなわち$$(a-d)(a+d)=0$$である。$a+d\mathrm{\ne }0$ なので $a=d$ となる。よって$$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ -b& a\end{array}\right)\mathrm{.}$$さらに$$1=\det (A^2)=(\det A{)}^2=(a^2+b^2{)}^2$$であり、$a^2+b^2\geqq 0$ だから $a^2+b^2=1$ である。
ある実数 $\varphi$ を用いて $a=\cos \varphi ,b=\sin \varphi$ と書けば$$A=\left(\begin{array}{cc}\cos \varphi & \sin \varphi \\ -\sin \varphi & \cos \varphi \end{array}\right),$$これは角 $-\varphi$ の回転行列である。